Контрольная работа № 5 по теме: "Прямоугольный треугольник" (7 класс) 2. Один из углов прямоугольного треугольника равен , а разность гипотенузы и меньшего катета равна 15 см. Найти длину гипотенузы.

Question

Вопрос:

Ответ:

Accepted Answer

Дано:

Найти:

Решение:

Недостаток данных: В условии задачи указано, что "один из углов прямоугольного треугольника равен" без указания значения угла. Для решения задачи нам необходимо знать один из острых углов треугольника. Предположим, что имеется в виду, что один из острых углов равен 30° или 45°, так как эти углы часто встречаются в задачах.
Случай 1: Угол равен 30°

Если один из острых углов равен 30°, то другой острый угол равен 90° - 30° = 60°.
В прямоугольном треугольнике, катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы. Пусть это будет катет 'a'.
Тогда: a = c / 2.
Из условия задачи: c - a = 15 см.
Подставляем 'a' во второе уравнение: c - (c / 2) = 15.
c / 2 = 15.
c = 30 см.
Катет 'a' = 30 / 2 = 15 см.
В этом случае, разность гипотенузы и меньшего катета равна 30 - 15 = 15 см. Это соответствует условию.

Если один из острых углов равен 45°, то другой острый угол равен 90° - 45° = 45°.
Такой треугольник является равнобедренным, то есть катеты равны: a = b.
Пусть 'a' - меньший катет (хотя в данном случае они равны).
Из условия задачи: c - a = 15 см.
По теореме Пифагора: a² + b² = c².
Так как a = b, то 2a² = c².
c = a√2.
Подставляем 'c' во второе уравнение: a√2 - a = 15.
a(√2 - 1) = 15.
a = 15 / (√2 - 1).
a = 15 * (√2 + 1) / ((√2 - 1)(√2 + 1)) = 15 * (√2 + 1) / (2 - 1) = 15(√2 + 1).
a ≈ 15 * (1.414 + 1) = 15 * 2.414 ≈ 36.21 см.
Гипотенуза c = a + 15 ≈ 36.21 + 15 = 51.21 см.
Проверим: c - a ≈ 51.21 - 36.21 = 15 см.
Но при этом, катет 'a' является меньшим катетом. В равнобедренном треугольнике катеты равны, поэтому этот случай также возможен, если под "меньшим катетом" подразумевается любой из катетов.

Вывод: Если предположить, что один из углов равен 30°, то гипотенуза равна 30 см. Если предположить, что углы равны 45°, то гипотенуза равна примерно 51.21 см. Наиболее вероятным решением, учитывая простоту чисел, является первый случай.

Ответ: 30 см