Контрольная работа № 4 Вариант 1 1. Вычислить: 1) log, 16; 2) 51+logs 3; 3) log 135 - log 20 + 2log36. 2. В одной системе координат схематически построить графики функций y = log, x и y = (1/4)^x. 3. Сравнить числа log, (3/4) и log, (4/5). 4. Решить уравнение log5 (2x-1) = 2. 5. Решить неравенство log, (x-5) > 1. 6. Решить уравнение log2(x-2) + log2x = 3. 7. Решить уравнение log8x + log^x = 14. 8. Решить неравенство log?x 2 - 3log3 x ≤ 3.

Вариант 1

1. Вычислить:

1. \( \log_2 16 = \log_2 2^4 = 4 \)
2. \( 5^{1+\log_5 3} = 5^1 \cdot 5^{\log_5 3} = 5 \cdot 3 = 15 \)
3. \( \log_3 135 - \log_3 20 + 2\log_3 6 = \log_3 \frac{135}{20} + \log_3 6^2 = \log_3 \frac{27}{4} + \log_3 36 = \log_3 \left( \frac{27}{4} \cdot 36 \right) = \log_3 (27 \cdot 9) = \log_3 3^3 \cdot 3^2 = \log_3 3^5 = 5 \)

2. Построить графики функций

Графики функций \( y = \log_2 x \) и \( y = \left( \frac{1}{4} \right)^x \).

3. Сравнить числа

Сравниваем \( \log_4 \frac{3}{4} \) и \( \log_4 \frac{4}{5} \). Так как основание логарифма \( 4 > 1 \), функция \( y = \log_4 x \) возрастающая. Сравним аргументы: \( \frac{3}{4} = 0.75 \) и \( \frac{4}{5} = 0.8 \). Так как \( 0.75 < 0.8 \), то \( \log_4 \frac{3}{4} < \log_4 \frac{4}{5} \).

4. Решить уравнение

\( \log_5 (2x-1) = 2 \)

\( 2x-1 = 5^2 \)

\( 2x-1 = 25 \)

\( 2x = 26 \)

\( x = 13 \)

Проверка: \( 2 \cdot 13 - 1 = 26 - 1 = 25 > 0 \). Корень подходит.

Ответ: x = 13

5. Решить неравенство

\( \log_3 (x-5) > 1 \)

\( x-5 > 3^1 \)

\( x-5 > 3 \)

\( x > 8 \)

Также учтем область допустимых значений: \( x-5 > 0 \) ⇒ \( x > 5 \). Объединяя \( x > 8 \) и \( x > 5 \), получаем \( x > 8 \).

Ответ: x > 8

6. Решить уравнение

\( \log_2 (x-2) + \log_2 x = 3 \)

\( \log_2 ((x-2)x) = 3 \)

\( x(x-2) = 2^3 \)

\( x^2 - 2x = 8 \)

\( x^2 - 2x - 8 = 0 \)

Дискриминант \( D = (-2)^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36 \). \( \sqrt{D} = 6 \).

\( x_1 = \frac{2+6}{2} = 4 \)

\( x_2 = \frac{2-6}{2} = -2 \)

Проверка: \( x=4 \): \( \log_2 (4-2) + \log_2 4 = \log_2 2 + \log_2 4 = 1 + 2 = 3 \). Подходит.

\( x=-2 \): \( x-2 = -4 < 0 \) и \( x = -2 < 0 \). Не подходит.

Ответ: x = 4

7. Решить уравнение

\( \log_8 x + \log_{\sqrt{2}} x = 14 \)

Переведём логарифмы к основанию 2:

\( \log_8 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 8} = \frac{\log_2 x}{3} \)

\( \log_{\sqrt{2}} x = \frac{\log_2 x}{\log_2 \sqrt{2}} = \frac{\log_2 x}{1/2} = 2 \log_2 x \)

Подставляем в уравнение:

\( \frac{\log_2 x}{3} + 2 \log_2 x = 14 \)

Умножим на 3:

\( \log_2 x + 6 \log_2 x = 42 \)

\( 7 \log_2 x = 42 \)

\( \log_2 x = 6 \)

\( x = 2^6 \)

\( x = 64 \)

Ответ: x = 64

8. Решить неравенство

\( \log_2^2 x - 3\log_2 x \le 3 \)

Перенесём всё в одну сторону:

\( \log_2^2 x - 3\log_2 x - 3 \le 0 \)

Сделаем замену: \( y = \log_2 x \). Тогда получим квадратное неравенство:

\( y^2 - 3y - 3 \le 0 \)

Найдем корни уравнения \( y^2 - 3y - 3 = 0 \):

\( D = (-3)^2 - 4(1)(-3) = 9 + 12 = 21 \). \( \sqrt{D} = \sqrt{21} \).

\( y_1 = \frac{3 - \sqrt{21}}{2} \)

\( y_2 = \frac{3 + \sqrt{21}}{2} \)

Парабола \( y^2 - 3y - 3 \) ветвями вверх, поэтому неравенство \( y^2 - 3y - 3 \le 0 \) выполняется при \( y_1 \le y \le y_2 \).

\( \frac{3 - \sqrt{21}}{2} \le \log_2 x \le \frac{3 + \sqrt{21}}{2} \)

Так как основание логарифма \( 2 > 1 \), функция \( y = \log_2 x \) возрастающая. Избавимся от логарифма:

\( 2^{\frac{3 - \sqrt{21}}{2}} \le x \le 2^{\frac{3 + \sqrt{21}}{2}} \)

Ответ: \( [2^{\frac{3 - \sqrt{21}}{2}}; 2^{\frac{3 + \sqrt{21}}{2}}] \)