Контрольная работа № 4. Тема. Формулы сокращённого умножения

1. Представьте в виде многочлена выражение:

1. \( (c - 6)^2 = c^2 - 2 \cdot c \cdot 6 + 6^2 = c^2 - 12c + 36 \)
2. \( (2a - 3b)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 3b + (3b)^2 = 4a^2 - 12ab + 9b^2 \)
3. \( (5 - a)(5 + a) = 5^2 - a^2 = 25 - a^2 \)
4. \( (7x + 10y)(10y - 7x) = (10y + 7x)(10y - 7x) = (10y)^2 - (7x)^2 = 100y^2 - 49x^2 \)

2. Разложите на множители:

1. \( b^2 - 49 = b^2 - 7^2 = (b - 7)(b + 7) \)
2. \( c^2 - 8c + 16 = c^2 - 2 \cdot c \cdot 4 + 4^2 = (c - 4)^2 \)
3. \( 100 - 9x^2 = 10^2 - (3x)^2 = (10 - 3x)(10 + 3x) \)
4. \( 4a^2 + 20ab + 25b^2 = (2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot 5b + (5b)^2 = (2a + 5b)^2 \)

3. Упростите выражение \( (x - 2)(x + 2) - (x - 5)^2 \).

\( (x - 2)(x + 2) - (x - 5)^2 = (x^2 - 4) - (x^2 - 10x + 25) = x^2 - 4 - x^2 + 10x - 25 = 10x - 29 \)

4. Решите уравнение:

\( 4(3y + 1)^2 - 27 = (4y + 9)(4y - 9) + 2(5y + 2)(2y - 7) \)

\( 4(9y^2 + 6y + 1) - 27 = (16y^2 - 81) + 2(10y^2 - 35y + 4y - 14) \)

\( 36y^2 + 24y + 4 - 27 = 16y^2 - 81 + 2(10y^2 - 31y - 14) \)

\( 36y^2 + 24y - 23 = 16y^2 - 81 + 20y^2 - 62y - 28 \)

\( 36y^2 + 24y - 23 = 36y^2 - 62y - 109 \)

\( 24y - 23 = -62y - 109 \)

\( 24y + 62y = -109 + 23 \)

\( 86y = -86 \)

\( y = -1 \)

5. Представьте в виде произведения выражение \( (4b - 9)^2 - (3b + 8)^2 \).

\( (4b - 9)^2 - (3b + 8)^2 = ((4b - 9) - (3b + 8))((4b - 9) + (3b + 8)) \)

\( = (4b - 9 - 3b - 8)(4b - 9 + 3b + 8) \)

\( = (b - 17)(7b - 1) \)

6. Упростите выражение \( (3 - b)(3 + b)(9 + b^2) + (4 + b^2)^2 \) и найдите его значение при \( b = \frac{1}{2} \).

\( (3 - b)(3 + b)(9 + b^2) + (4 + b^2)^2 = (9 - b^2)(9 + b^2) + (4 + b^2)^2 \)

\( = (81 - b^4) + (16 + 8b^2 + b^4) \)

\( = 81 - b^4 + 16 + 8b^2 + b^4 = 97 + 8b^2 \)

При \( b = \frac{1}{2} \): \( 97 + 8 \left( \frac{1}{2} \right)^2 = 97 + 8 \cdot \frac{1}{4} = 97 + 2 = 99 \)

7. Докажите, что выражение \( x^2 - 14x + 51 \) принимает положительные значения при всех значениях \( x \).

Рассмотрим квадратный трёхчлен \( y = x^2 - 14x + 51 \). Это парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при \( x^2 \) равен 1, что больше 0). Вычислим дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 51 = 196 - 204 = -8 \)

Так как дискриминант отрицательный (\( D < 0 \)) и коэффициент при \( x^2 \) положительный, то парабола не пересекает ось \( x \) и целиком лежит выше оси \( x \). Следовательно, значение выражения \( x^2 - 14x + 51 \) положительно при любых значениях \( x \).

Ответ: Доказано.