Контрольная работа № 1 «Четырёхугольники». Вариант 2. Задание 5. В параллелограмме ABCD биссектриса AE делит сторону BC пополам и ∠AED = 90°. Найдите длину отрезка ED, если AB = 12 и ∠A = 60°. Выполните чертёж.

Пусть E — середина BC. Так как AB ∥ CD и BC ∥ AD, угол ABE равен 180° − ∠A = 120°. Биссектриса AE делит угол A пополам, поэтому ∠BAE = 30°.

В треугольнике ABE третий угол тоже равен 30°. Против равных углов лежат равные стороны, значит BE = AB = 12. Поскольку E — середина BC, BC = 24, а значит AD = 24.

Обозначим координаты A = (0, 0), B = (12, 0). При ∠A = 60° и AD = 24 получаем D = (12, 12√3), C = (24, 12√3). Середина BC — точка E = (18, 6√3).

Тогда ED = √((18 − 12)² + (6√3 − 12√3)²) = √(36 + 108) = 12.

Ответ: ED = 12.