Контрольная работа №3 «Законы сохранения в механике» Вариант 1 Часть А Выберите один верный ответ. 1. Тележка массой т, движущаяся со скоростью ѵ, сталкивается с неподвижной тележкой той же массы и сцепляется с ней. Импульс тележек после взаимодействия равен 1) 0 2) mv/2 3) mv 4) 2mv 2. Недеформированную пружину жесткостью 30 Н/м растянули на 0,04 м. Чему равна потенциальная энергия растянутой пружины? 1) 12 Дж 2) 1,2 Дж 3) 0,6 Дж 4) 0,024 Дж 3. Тело массой 2 кг движется вдоль оси ОХ. Его координата меняется в соответствии с уравнением x = A +Bt + Ct², где А = 2 м, В = 3 м/с, С = 5 м/с². Чему равен импульс тела в момент времени t = 2 с? 1) 86 кг-м/с 2) 48 кг-м/с 3) 46 кг-м/с 4) 26 кг-м/с 4. Неподвижная лодка вместе с находящимся в ней охотником имеет массу 250 кг. Охотник выстреливает из охотничьего ружья в горизонтальном направлении. Какую скорость получит лодка после выстрела? Масса пули 8 г, а ее скорость при вылете равна 700 м/с. 1) 22,4 м/с 2) 0,05 м/с 3) 0,02 м/с 4) 700 м/с 5. Подъемный кран равномерно поднимает вертикально вверх груз весом 1000 Н на высоту 5 м за 5 с. Какую механическую мощность развивает подъемный кран во время этого подъема? 1) 0 Вт 2) 5000 Вт 3) 25 000 Вт 4) 1000 Вт 6. Товарный вагон, движущийся по горизонтальному пути с небольшой скоростью, сталкивается с другим вагоном и останавливается. При этом пружина буфера сжимается. Какое из перечисленных ниже преобразований энергии наряду с другими происходит в этом процессе? 1. кинетическая энергия вагона преобразуется в потенциальную энергию пружины. 2. кинетическая энергия вагона преобразуется в его потенциальную энергию. 3. потенциальная энергия пружины преобразуется в ее кинетическую энергию. 4. внутренняя энергия пружины преобразуется в кинетическую энергию вагона. 7. Кинетическая энергия тела 8 Дж, а величина импульса 4 Н-с. Масса тела равна 1) 0,5 кг 2) 1 кг 3) 2 кг 4) 32 кг Часть В 8. Установите соответствие между названиями формул, относящихся к законам сохранения, и самими формулами. НАЗВАНИЯ ФОРМУЛ А. Закон сохранения импульса Б. Закон сохранения энергии В. Механическая работа Г. Потенциальная энергия деформированной пружины Решите задачи. 9. Камень массой 0,4 кг бросили вертикально вверх со скоростью 20 м/с. Чему равны кинетическая и потенциальная энергии камня на высоте 15 м? 10. Человек и тележка движутся друг другу навстречу, причем масса человека в два раза больше массы тележки. Скорость человека 2 м/с, а тележки 1 м/с. Человек вскакивает на тележку и остается на ней. Какова скорость человека вместе с тележкой?

Выполним решение предложенных задач: 1. После столкновения двух тележек, движущаяся тележка передает импульс неподвижной. Т.к. массы тележек равны, то скорость после взаимодействия уменьшится в 2 раза. Следовательно, импульс равен $$p = m \cdot \frac{v}{2} = \frac{mv}{2}$$. Ответ: 2) mv/2 2. Потенциальная энергия растянутой пружины вычисляется по формуле: $$E = \frac{kx^2}{2}$$, где k - жесткость пружины, x - величина растяжения. Подставляем значения: $$E = \frac{30 \cdot (0.04)^2}{2} = \frac{30 \cdot 0.0016}{2} = \frac{0.048}{2} = 0.024 \text{ Дж}$$. Ответ: 4) 0,024 Дж 3. Импульс тела вычисляется по формуле $$p = mv$$, где v - скорость тела. Скорость можно найти как производную координаты по времени: $$v = \frac{dx}{dt} = B + 2Ct$$. Подставляем t = 2 с: $$v = 3 + 2 \cdot 5 \cdot 2 = 3 + 20 = 23 \text{ м/с}$$. Тогда импульс: $$p = 2 \cdot 23 = 46 \text{ кг\cdotм/с}$$. Ответ: 3) 46 кг·м/с 4. Используем закон сохранения импульса. Импульс системы "лодка + охотник + пуля" до выстрела равен 0. После выстрела: $$0 = m_\text{лодки}v_\text{лодки} + m_\text{пули}v_\text{пули}$$. Отсюда $$v_\text{лодки} = -\frac{m_\text{пули}v_\text{пули}}{m_\text{лодки}} = -\frac{0.008 \cdot 700}{250} = -\frac{5.6}{250} = -0.0224 \text{ м/с}$$. Знак минус означает, что лодка движется в направлении, противоположном направлению движения пули. Ответ: 3) 0,02 м/с (округлено) 5. Механическая мощность вычисляется как работа, деленная на время: $$P = \frac{A}{t}$$. Работа равна изменению потенциальной энергии груза: $$A = mgh$$, где m - масса груза, g - ускорение свободного падения (приближенно 10 м/с²), h - высота подъема. Вес груза P = mg = 1000 Н, следовательно, A = 1000 Н * 5 м = 5000 Дж. Тогда мощность: $$P = \frac{5000}{5} = 1000 \text{ Вт}$$. Ответ: 4) 1000 Вт 6. При столкновении вагона с другим вагоном и сжатии пружины буфера, кинетическая энергия вагона преобразуется в потенциальную энергию пружины. Ответ: 1. кинетическая энергия вагона преобразуется в потенциальную энергию пружины. 7. Кинетическая энергия тела $$E = \frac{mv^2}{2}$$, а импульс $$p = mv$$. Выразим скорость из импульса: $$v = \frac{p}{m}$$. Подставим в формулу кинетической энергии: $$E = \frac{m}{2} \cdot (\frac{p}{m})^2 = \frac{p^2}{2m}$$. Отсюда $$m = \frac{p^2}{2E} = \frac{4^2}{2 \cdot 8} = \frac{16}{16} = 1 \text{ кг}$$. Ответ: 2) 1 кг 8. Установим соответствие между названиями формул и самими формулами: А. Закон сохранения импульса - 5. $$m_1v_1 + m_2v_2 + ... = m_1v_1' + m_2v_2' + ...$$ Б. Закон сохранения энергии - 3. $$E_{п1}+E_{к1} = E_{п2}+E_{к2}$$ В. Механическая работа - 2. $$F \cdot s \cdot cos \alpha$$ Г. Потенциальная энергия деформированной пружины - 4. $$\frac{kx^2}{2}$$ 9. Кинетическая энергия камня в момент броска: $$E_к = \frac{mv^2}{2} = \frac{0.4 \cdot 20^2}{2} = \frac{0.4 \cdot 400}{2} = 80 \text{ Дж}$$. Потенциальная энергия камня на высоте 15 м: $$E_п = mgh = 0.4 \cdot 10 \cdot 15 = 60 \text{ Дж}$$. Кинетическая энергия: 80 Дж; Потенциальная энергия: 60 Дж. 10. Пусть масса тележки равна m, тогда масса человека равна 2m. Закон сохранения импульса: $$(2m) \cdot 2 + m \cdot (-1) = (2m + m) \cdot v$$, где v - скорость человека вместе с тележкой после прыжка. $$4m - m = 3mv$$, $$3m = 3mv$$, $$v = 1 \text{ м/с}$$. Скорость человека вместе с тележкой: 1 м/с.