Контрольная работа № 8 Вариант 1. 1. Решите неравенство: а) 2/7x≥-14; б) 3x-8<4(2x-3); в) 3-(x-1)/2>3x; г) 0,5(x-2)+1,5x <x+1. 2. Решите систему неравенств: a) {2x+7≤19, 30-8x<6; б) {2x+9>6x-5, x/2>-1. 3. При каких значениях переменной имеет смысл выражение: а) √3x-7; б) √5x-2+√6-x. 4. При каких а значение дроби (7+a)/3 меньше соответствующего значения дроби (12-a)/2? 5. Решите двойное неравенство: a)-5 < 3x + 1 < 4; б)-3 ≤2 - x ≤ 6.

1. Решите неравенство:

1. а) \(\frac{2}{7}x \ge -14\)

   Умножим обе части неравенства на \(\frac{7}{2}\):

   \[x \ge -14 \cdot \frac{7}{2}\]

   \[x \ge -7 \cdot 7\]

   \[x \ge -49\]

2. б) \(3x - 8 < 4(2x - 3)\)

   Раскроем скобки:

   \[3x - 8 < 8x - 12\]

   Перенесем слагаемые с \(x\) в одну сторону, а числа в другую:

   \[3x - 8x < -12 + 8\]

   \[-5x < -4\]

   Разделим обе части на \(-5\), не забыв изменить знак неравенства:

   \[x > \frac{-4}{-5}\]

   \[x > \frac{4}{5}\]

3. в) \(3 - \frac{x - 1}{2} > 3x\)

   Умножим обе части на 2:

   \[6 - (x - 1) > 6x\]

   \[6 - x + 1 > 6x\]

   \[7 - x > 6x\]

   Перенесем слагаемые с \(x\) в одну сторону, а числа в другую:

   \[7 > 6x + x\]

   \[7 > 7x\]

   Разделим обе части на 7:

   \[1 > x\]

   \[x < 1\]

4. г) \(0.5(x - 2) + 1.5x < x + 1\)

   Раскроем скобки:

   \[0.5x - 1 + 1.5x < x + 1\]

   \[2x - 1 < x + 1\]

   Перенесем слагаемые с \(x\) в одну сторону, а числа в другую:

   \[2x - x < 1 + 1\]

   \[x < 2\]

2. Решите систему неравенств:

1. a)

   \[\begin{cases} 2x + 7 \le 19 \\ 30 - 8x < 6 \end{cases}\]

   Решим каждое неравенство отдельно:

   • \[2x + 7 \le 19\]

     \[2x \le 19 - 7\]

     \[2x \le 12\]

     \[x \le 6\]

   • \[30 - 8x < 6\]

     \[-8x < 6 - 30\]

     \[-8x < -24\]

     \[x > \frac{-24}{-8}\]

     \[x > 3\]

   Объединим решения:

   \[3 < x \le 6\]

2. б)

   \[\begin{cases} 2x + 9 > 6x - 5 \\ \frac{x}{2} > -1 \end{cases}\]

   Решим каждое неравенство отдельно:

   • \[2x + 9 > 6x - 5\]

     \[2x - 6x > -5 - 9\]

     \[-4x > -14\]

     \[x < \frac{-14}{-4}\]

     \[x < \frac{7}{2}\]

     \[x < 3.5\]

   • \[\frac{x}{2} > -1\]

     \[x > -2\]

   Объединим решения:

   \[-2 < x < 3.5\]

3. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

1. а) \(\sqrt{3x - 7}\)

   Выражение имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно:

   \[3x - 7 \ge 0\]

   \[3x \ge 7\]

   \[x \ge \frac{7}{3}\]

2. б) \(\sqrt{5x - 2} + \sqrt{6 - x}\)

   Выражение имеет смысл, когда оба подкоренных выражения неотрицательны:

   \[\begin{cases} 5x - 2 \ge 0 \\ 6 - x \ge 0 \end{cases}\]

   Решим каждое неравенство отдельно:

   • \[5x - 2 \ge 0\]

     \[5x \ge 2\]

     \[x \ge \frac{2}{5}\]

   • \[6 - x \ge 0\]

     \[-x \ge -6\]

     \[x \le 6\]

   Объединим решения:

   \[\frac{2}{5} \le x \le 6\]

4. При каких \(a\) значение дроби \(\frac{7 + a}{3}\) меньше соответствующего значения дроби \(\frac{12 - a}{2}\)?

Составим неравенство:

\[\frac{7 + a}{3} < \frac{12 - a}{2}\]

Умножим обе части на 6:

\[2(7 + a) < 3(12 - a)\]

\[14 + 2a < 36 - 3a\]

\[2a + 3a < 36 - 14\]

\[5a < 22\]

\[a < \frac{22}{5}\]

\[a < 4.4\]

5. Решите двойное неравенство:

1. а) \(-5 < 3x + 1 < 4\)

   Вычтем 1 из всех частей:

   \[-5 - 1 < 3x < 4 - 1\]

   \[-6 < 3x < 3\]

   Разделим все части на 3:

   \[-2 < x < 1\]

2. б) \(-3 \le 2 - x \le 6\)

   Вычтем 2 из всех частей:

   \[-3 - 2 \le -x \le 6 - 2\]

   \[-5 \le -x \le 4\]

   Умножим все части на -1, не забыв изменить знаки неравенства:

   \[5 \ge x \ge -4\]

   \[-4 \le x \le 5\]