Контрольная работа № 6 Вариант №1 1. Построить график функции y = log2 8x; y = log1x3. 2 2. Решить уравнение log2(x² + 7x-5) = log2(4x - 1); log 0,2x + logo,2 X - 6 = 0. 3. Решить систему неравенства (log1 x² ≥ log1 28-log17, 2 2 log3 (4x-1) > 0 2

Задание 1

Построить график функции:

y = log₂ 8x; y = log_1/2 x³.

Решение:

• y = log₂ 8x = log₂ 8 + log₂ x = 3 + log₂ x

График функции y = log₂ 8x получается сдвигом графика функции y = log₂ x на 3 единицы вверх.

• y = log_1/2 x³ = 3log_1/2 x = -3log₂ x

График функции y = log_1/2 x³ получается растяжением графика функции y = log₂ x в 3 раза вдоль оси Oy и отражением относительно оси Ox.

Задание 2

Решить уравнение:

log₂(x² + 7x - 5) = log₂(4x - 1);

log_0.2x + log_0.2 x - 6 = 0.

Решение:

1. log₂(x² + 7x - 5) = log₂(4x - 1)
Показать решение
• x² + 7x - 5 = 4x - 1
• x² + 3x - 4 = 0
• (x + 4)(x - 1) = 0
• x = -4 или x = 1
• Проверка:
• x = -4: 4x - 1 = -17 (не подходит)
• x = 1: 4x - 1 = 3 (подходит)
2. x = 1

1. log_0.2x + log_0.2 x - 6 = 0
Показать решение
• 2log_0.2x = 6
• log_0.2x = 3
• x = (0.2)³
• x = 0.008
2. x = 0.008

Задание 3

Решить систему неравенства:

\[\begin{cases} log_{\frac{1}{2}} x^2 \geq log_{\frac{1}{2}} 28 - log_{\frac{1}{2}} 7, \\ log_3 (4x-1) > 0 \end{cases}\]

Решение:

1. log_1/2 x² ≥ log_1/2 28 - log_1/2 7
Показать решение
• log_1/2 x² ≥ log_1/2 (28/7)
• log_1/2 x² ≥ log_1/2 4
• x² ≤ 4 (т.к. основание логарифма меньше 1)
• -2 ≤ x ≤ 2
2. -2 ≤ x ≤ 2

1. log₃ (4x-1) > 0
Показать решение
• 4x - 1 > 1
• 4x > 2
• x > 0.5
2. x > 0.5

Решением системы является пересечение этих двух неравенств: 0.5 < x ≤ 2