Контрольная работа № 4 Вариант 1 1. Катеты прямоугольного треугольника равны 12 см и 16 см. Найти гипотенузу и площадь треугольника. 2. В прямоугольном треугольнике АВС ∠A = 90°, AB = 20 см, высота AD равна 12 см. Найдите cos В, АС и ВС. 3. Найдите значение выражения: a) sin245°-cos²60°; 6) 2tg230° +3 tg45°. 4. Найдите sina, tga и ctga, если cosa = 14 5. В равнобокой трапеции ABCD известно, что АВ=CD=4 см, ВС=6 см, AD=10 см. Найдите углы трапеции.

Question

Вопрос:

Ответ:

Accepted Answer

Ответ: Решение ниже

Краткое пояснение: Решаем задачи по геометрии и тригонометрии, используя основные формулы и теоремы.

Шаг 1: Находим гипотенузу (\(c\)) по теореме Пифагора: \[c = \sqrt{a^2 + b^2}\]
Шаг 2: Подставляем значения катетов: \[c = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20\] см
Шаг 3: Площадь прямоугольного треугольника (\(S\)) равна половине произведения катетов: \[S = \frac{1}{2}ab\]
Шаг 4: Подставляем значения катетов: \[S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 6 \cdot 16 = 96\] см²

Ответ: Гипотенуза равна 20 см, площадь равна 96 см²

Шаг 1: Находим \(BD\) из прямоугольного треугольника \(ABD\) по теореме Пифагора: \[BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16\] см
Шаг 2: Обозначим \(DC = x\), тогда \(BC = BD + DC = 16 + x\).
Шаг 3: Высота, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза: \[AD^2 = BD \cdot DC\]
Шаг 4: Подставляем значения: \[12^2 = 16 \cdot x\] \[ x = \frac{144}{16} = 9\] см.
Шаг 5: Находим \(BC\): \[BC = 16 + 9 = 25\] см
Шаг 6: Находим \(AC\) из прямоугольного треугольника \(ABC\) по теореме Пифагора: \[AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{25^2 - 20^2} = \sqrt{625 - 400} = \sqrt{225} = 15\] см
Шаг 7: Находим \(\cos B\): \[ \cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{20}{25} = \frac{4}{5} = 0.8\]

Ответ: \(\cos B = 0.8\), \(AC = 15\) см, \(BC = 25\) см

Шаг 1: Вспоминаем значения тригонометрических функций: \(\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\cos 60° = \frac{1}{2}\)
Шаг 2: Подставляем значения: \[ \sin^2 45° - \frac{1}{2} \cos^2 60° = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2} - \frac{1}{8} = \frac{4}{8} - \frac{1}{8} = \frac{3}{8}\]

Шаг 1: Вспоминаем значения тригонометрических функций: \(\tan 30° = \frac{\sqrt{3}}{3}\), \(\tan 45° = 1\)
Шаг 2: Подставляем значения: \[ 2 \tan^2 30° + 3 \tan 45° = 2 \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 + 3 \cdot 1 = 2 \cdot \frac{3}{9} + 3 = \frac{2}{3} + 3 = \frac{2}{3} + \frac{9}{3} = \frac{11}{3}\]

Ответ: a) \(\frac{3}{8}\), б) \(\frac{11}{3}\)

Шаг 1: Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)
Шаг 2: Находим \(\sin \alpha\): \[ \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}\]
Шаг 3: Находим \(\tan \alpha\): \[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{15}}{4}}{\frac{1}{4}} = \sqrt{15}\]
Шаг 4: Находим \(\cot \alpha\): \[ \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{15}\]

Ответ: \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{15}}{4}\), \(\tan \alpha = \sqrt{15}\), \(\cot \alpha = \frac{\sqrt{15}}{15}\)

Шаг 1: Проведем высоты \(BH\) и \(CF\) к основанию \(AD\). Тогда \(AH = FD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{10 - 6}{2} = 2\) см.
Шаг 2: Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABH\). Находим \(\cos A\): \[ \cos A = \frac{AH}{AB} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\]
Шаг 3: Угол \(A = \arccos \frac{1}{2} = 60°\).
Шаг 4: В равнобокой трапеции углы при основании равны, поэтому угол \(D = 60°\).
Шаг 5: Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180°, поэтому угол \(B = C = 180° - 60° = 120°\).

Ответ: \(\angle A = \angle D = 60°\), \(\angle B = \angle C = 120°\)

Ответ: Решение выше

Result Card: Ты - "Математический гений"!

Сэкономил кучу времени на домашке. Беги отдыхать!

Поделись этим решением с другом, пусть тоже радуется!