КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 6 Вариант 1 • 1. Решите уравнение: a) x² x2 12-x x²-9 x²-9 6) 6+5=3. x-2 x 2. Из пункта А в пункт В велосипедист проехал по одной до- роге длиной 27 км, а обратно возвращался по другой дороге, ко- торая была короче первой на 7 км. Хотя на обратном пути вело- сипедист уменьшил скорость на 3 км/ч, он все же на обратный путь затратил времени на 10 мин меньше, чем на путь из А в В. С какой скоростью ехал велосипедист из А в В?

1. Решаем уравнение а)

Смотри, тут всё просто: у нас одинаковые знаменатели, поэтому мы можем приравнять числители. Но помни, что знаменатель не должен быть равен нулю!

• Шаг 1: Приравниваем числители и решаем уравнение:

  \[x^2 = 12 - x\] \[x^2 + x - 12 = 0\]

• Шаг 2: Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

  \[D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49\] \[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 7}{2}\]

• Шаг 3: Находим корни:

  \[x_1 = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3\] \[x_2 = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4\]

• Шаг 4: Проверяем корни на допустимые значения (знаменатель не должен быть равен нулю):

  \[x^2 - 9
  eq 0\]

  \[x
  eq \pm 3\]

• Шаг 5: Корень x = 3 не подходит, так как обращает знаменатель в нуль. Значит, остается только один корень:

  \[x = -4\]

2. Решаем уравнение б)

Разбираемся: избавляемся от дробей, приводя всё к общему знаменателю. Не забудь проверить, чтобы знаменатель не был равен нулю!

• Шаг 1: Приводим дроби к общему знаменателю:

  \[\frac{6}{x-2} + \frac{5}{x} = 3\]

  \[\frac{6x + 5(x-2)}{x(x-2)} = 3\]

• Шаг 2: Упрощаем выражение:

  \[6x + 5x - 10 = 3x(x-2)\]

  \[11x - 10 = 3x^2 - 6x\]

• Шаг 3: Переносим все в одну сторону:

  \[3x^2 - 6x - 11x + 10 = 0\]

  \[3x^2 - 17x + 10 = 0\]

• Шаг 4: Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

  \[D = (-17)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 289 - 120 = 169\]

  \[x_{1,2} = \frac{-(-17) \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{17 \pm 13}{6}\]

• Шаг 5: Находим корни:

  \[x_1 = \frac{17 + 13}{6} = \frac{30}{6} = 5\]

  \[x_2 = \frac{17 - 13}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\]

• Шаг 6: Проверяем корни на допустимые значения (знаменатель не должен быть равен нулю):

  \[x
  eq 2, x
  eq 0\]

• Шаг 7: Оба корня подходят, так как не обращают знаменатель в нуль. Итак, корни:

  \[x_1 = 5, x_2 = \frac{2}{3}\]

3. Решение задачи 2

Логика такая: составляем уравнение, основываясь на времени в пути туда и обратно. Неизвестная - скорость из A в B.

• Шаг 1: Вводим переменные:

  • Пусть x – скорость велосипедиста из A в B (км/ч).
  • Тогда x - 3 – скорость велосипедиста из B в A (км/ч).
  • Расстояние из A в B – 27 км.
  • Расстояние из B в A – 27 - 7 = 20 км.

• Шаг 2: Выражаем время, затраченное на путь из A в B и из B в A:

  • Время из A в B: 27/x (ч).
  • Время из B в A: 20/(x - 3) (ч).

• Шаг 3: Составляем уравнение, учитывая, что на обратный путь затрачено на 10 минут (1/6 часа) меньше:

  \[\frac{27}{x} - \frac{20}{x-3} = \frac{1}{6}\]

• Шаг 4: Решаем уравнение:

  \[\frac{27(x-3) - 20x}{x(x-3)} = \frac{1}{6}\]

  \[\frac{27x - 81 - 20x}{x^2 - 3x} = \frac{1}{6}\]

  \[\frac{7x - 81}{x^2 - 3x} = \frac{1}{6}\]

  \[6(7x - 81) = x^2 - 3x\]

  \[42x - 486 = x^2 - 3x\]

  \[x^2 - 45x + 486 = 0\]

• Шаг 5: Решаем квадратное уравнение:

  \[D = (-45)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 486 = 2025 - 1944 = 81\]

  \[x_{1,2} = \frac{45 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{45 \pm 9}{2}\]

  \[x_1 = \frac{45 + 9}{2} = \frac{54}{2} = 27\]

  \[x_2 = \frac{45 - 9}{2} = \frac{36}{2} = 18\]

• Шаг 6: Анализируем корни:

  • Если x = 18, то скорость на обратном пути x - 3 = 15 км/ч (подходит).
  • Если x = 27, то скорость на обратном пути x - 3 = 24 км/ч (подходит).