Контрольная работа № 4 Тема. Окружность и круг. Геометрические построения 1. На рисунке 280 точка О – центр окружности, ДАВО = = 40°. Найдите угол ВОС. 2. К окружности с центром О провели касательную CD (D – точка касания). Найдите радиус окружности, ес- ли СО = 16 см и ∠COD = 60°. 3. В окружности с центром О провели диаметры М№ и РК (рис. 281). Докажите, что МК || PN.

Решение задачи №1:

• Рассмотрим треугольник ABO. Так как AO и BO - радиусы окружности, то треугольник равнобедренный (AO = BO). Следовательно, углы при основании равны: ∠BAO = ∠ABO = 40°.

• Найдем угол AOB. Сумма углов в треугольнике равна 180°, значит, ∠AOB = 180° - (∠BAO + ∠ABO) = 180° - (40° + 40°) = 100°.

• Угол BOC является смежным с углом AOB, поэтому ∠BOC = 180° - ∠AOB = 180° - 100° = 80°.

• Так как треугольник равнобедренный (AO = BO), то углы при основании равны: ∠OAB = ∠OBA = 40°.

• Угол AOB = 180° - (40° + 40°) = 100°.

• Угол BOC = 180° - ∠AOB = 180° - 100° = 80°.

Решение задачи №2:

• В прямоугольном треугольнике COD (так как CD касательная, то радиус OD перпендикулярен касательной), известен угол ∠COD = 60° и гипотенуза CO = 16 см. Нужно найти катет OD, который является радиусом окружности.

• Используем косинус угла COD: cos(∠COD) = OD / CO.

• Выразим OD: OD = CO * cos(∠COD) = 16 * cos(60°).

• Так как cos(60°) = 0.5, то OD = 16 * 0.5 = 8 см.

Решение задачи №3:

• Проведём хорды MK и NP.

• ∠MOK = ∠NOP как вертикальные.

• ΔMOK и ΔNOP - равнобедренные (OM = OK = ON = OP как радиусы).

• Следовательно, углы при основаниях этих треугольников равны: ∠OMK = ∠OKM и ∠ONP = ∠OPN.

• Так как ∠MOK = ∠NOP, то и углы при основаниях тоже равны: ∠OMK = ∠ONP и ∠OKM = ∠OPN.

• Эти углы являются внутренними накрест лежащими углами при прямых MK и NP и секущей MN. Следовательно, MK || NP.