Контрольная работа №9 по теме: Вариант 1 1. Вычислите: 2cos--4sin+cos360° 6 cos780°; sin 3 4π 3 2. Вычислите sina, tga, ctga, если 12 π COS a , - < α <π. 13' 2 3. Упростите выражение: a) cos(a -β)-cos(α + β); 6) )1+2cos(-a)cos(-a). 4. Докажите тождество: 1 a) 1+tg²x +sinx+sin²x cos²x = 1 6) cos4a +1 ==-sin4a(ctga-tga) 2 5. Решите уравнение: Sin5xcos4x - cos5xsin4x=1. 6. Найдите cos(а - в), если sina + sin ẞ = −√2, cosa + cos ẞ = -1.

Задача 1: Вычислите: \[2\cos{\frac{\pi}{6}} - 4\sin{\frac{4\pi}{3}} + \cos{360^\circ}\]

Решение:

• \[\cos{\frac{\pi}{6}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]
• \[\sin{\frac{4\pi}{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\]
• \[\cos{360^\circ} = 1\]

Подставляем значения:

\[2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 1 = \sqrt{3} + 2\sqrt{3} + 1 = 3\sqrt{3} + 1\]

Вычислите: \[\cos{780^\circ}; \sin{\frac{\pi}{3}}\]

• \[\cos{780^\circ} = \cos{(780^\circ - 2 \cdot 360^\circ)} = \cos{60^\circ} = \frac{1}{2}\]
• \[\sin{\frac{\pi}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Задача 2: Вычислите \(\sin \alpha\), \(\tg \alpha\), \(\ctg \alpha\), если \(\cos \alpha = -\frac{12}{13}\), \(-\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\).

Решение:

Так как \(\alpha\) находится во II четверти, то \(\sin \alpha > 0\).

• \[\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\]
• \[\sin^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169}\]
• \[\sin \alpha = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}\]

• \[\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{5}{13}}{-\frac{12}{13}} = -\frac{5}{12}\]
• \[\ctg \alpha = \frac{1}{\tg \alpha} = -\frac{12}{5}\]

Задача 3a: Упростите выражение: \(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)\)

Решение:

• \[\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta\]
• \[\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta\]

Подставляем:

\[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) = (\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) - (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta) = 2 \sin \alpha \sin \beta\]

Задача 3б: Упростите выражение: \[1 + 2 \cos{\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)} \cos{(-\alpha)}\]

Решение:

• \[\cos{\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)} = \sin \alpha\]
• \[\cos{(-\alpha)} = \cos \alpha\]

Подставляем:

\[1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha = 1 + \sin{2\alpha}\]

Задача 4a: Докажите тождество: \(\frac{1}{1 + \tg^2 x} + \sin^4 x + \sin^2 x \cos^2 x = 1\)

Решение:

• \[\frac{1}{1 + \tg^2 x} = \cos^2 x\]

Подставляем:

\[\cos^2 x + \sin^4 x + \sin^2 x \cos^2 x = \cos^2 x + \sin^2 x(\sin^2 x + \cos^2 x) = \cos^2 x + \sin^2 x = 1\]

Задача 4б: Докажите тождество: \[\cos 4\alpha + 1 = \frac{1}{2} \sin 4\alpha (\ctg \alpha - \tg \alpha)\]

Решение:

• \[\ctg \alpha - \tg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{\cos 2\alpha}{\frac{1}{2} \sin 2\alpha} = 2 \ctg 2\alpha\]

Подставляем:

\[\frac{1}{2} \sin 4\alpha (\ctg \alpha - \tg \alpha) = \frac{1}{2} \cdot 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha \cdot 2 \ctg 2\alpha = 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = 2 \cos^2 2\alpha\]

Учитываем, что \(\cos 4\alpha = 2 \cos^2 2\alpha - 1\), тогда:

\[\cos 4\alpha + 1 = 2 \cos^2 2\alpha\]

Задача 5: Решите уравнение: \(\sin 5x \cos 4x - \cos 5x \sin 4x = 1\)

Решение:

Используем формулу синуса разности углов:

\[\sin(5x - 4x) = \sin x\]

Тогда уравнение принимает вид:

\[\sin x = 1\]

\[x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\]

Задача 6: Найдите \(\cos(\alpha - \beta)\), если \(\sin \alpha + \sin \beta = -\sqrt{2}\), \(\cos \alpha + \cos \beta = -1\)

Решение:

Возведем оба уравнения в квадрат:

• \[(\sin \alpha + \sin \beta)^2 = \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \sin \beta + \sin^2 \beta = 2\]
• \[(\cos \alpha + \cos \beta)^2 = \cos^2 \alpha + 2 \cos \alpha \cos \beta + \cos^2 \beta = 1\]

Сложим полученные уравнения:

\[(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + (\sin^2 \beta + \cos^2 \beta) + 2(\sin \alpha \sin \beta + \cos \alpha \cos \beta) = 3\]

\[1 + 1 + 2 \cos(\alpha - \beta) = 3\]

\[2 + 2 \cos(\alpha - \beta) = 3\]

\[2 \cos(\alpha - \beta) = 1\]

\[\cos(\alpha - \beta) = \frac{1}{2}\]