Контрольная работа №3 по теме: «Соотношение между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов». Вариант 2 1. В треугольнике CDE угол С равен 30°, угол D равен 45°, СЕ = 5/2. Найдите DE. 2. Две стороны треугольника равны 5 см и 7 см, а угол между ними равен 60°. Найдите третью сторону треугольника. 3. В ромбе KLMN KS – биссектриса угла MKL, угол LKN равен 60°, LS = 15 см. Найдите площадь ромба KLMN. 4. В треугольнике MNK NP – биссектриса, MN = 2, MN=NK, угол № равен 60°. Вычислите скалярное произведение векторов: MK MK, NP NK, KM.MK. 5. Четырехугольник ABCD задан координатами своих вершин А(5;-3) B(1;2) C(4;4) D(6;1). Найдите синус угла между его диагоналями.

Задание 1

В треугольнике CDE угол C равен 30°, угол D равен 45°, CE = 5√2. Найдите DE.

Применим теорему синусов: \[\frac{DE}{\sin C} = \frac{CE}{\sin D}\]

Выразим DE: \[DE = \frac{CE \cdot \sin C}{\sin D}\]

Подставим известные значения: \[DE = \frac{5\sqrt{2} \cdot \sin 30°}{\sin 45°} = \frac{5\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 5\]

Ответ: DE = 5

Задание 2

Две стороны треугольника равны 5 см и 7 см, а угол между ними равен 60°. Найдите третью сторону треугольника.

Применим теорему косинусов: \[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C\]

Где a = 5 см, b = 7 см, C = 60°.

Подставим значения: \[c^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 60° = 25 + 49 - 70 \cdot \frac{1}{2} = 74 - 35 = 39\]

Тогда: \[c = \sqrt{39}\]

Ответ: Третья сторона равна √39 см.

Задание 3

В ромбе KLMN KS – биссектриса угла MKL, угол LKN равен 60°, LS = 15 см. Найдите площадь ромба KLMN.

Так как KS - биссектриса угла MKL, то угол MKS = углу SKL.

Угол LKN = 60°, значит угол MKL = 2 * (90° - 60°) = 60°.

Следовательно, треугольник MKL - равносторонний.

Так как KS - биссектриса и высота, то треугольник LKS - прямоугольный, и LS = 15 см.

В равностороннем треугольнике MKL сторона равна 2 * LS * √3, то есть KL = 2 * 15 * √3 = 30√3 см.

Площадь ромба равна: \[S = KL^2 \cdot \sin \angle L = (30\sqrt{3})^2 \cdot \sin 120° = 2700 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1350\sqrt{3}\]

Ответ: Площадь ромба KLMN равна 1350√3 см².

Задание 4

В треугольнике MNK NP – биссектриса, MN = 2, MN=NK, угол N равен 60°. Вычислите скалярное произведение векторов: MK · MK, NP · NK, KM·MK.

Так как MN = NK и угол N = 60°, треугольник MNK - равносторонний, MK = MN = NK = 2.

NP - биссектриса, значит, делит угол N пополам, угол MNP = 30°.

• MK · MK = |MK|² = 2² = 4
• NP · NK = |NP| · |NK| · cos(∠PNK). Найдем NP. В прямоугольном треугольнике MNP: \[NP = MN \cdot \cos 30° = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\] Тогда, NP · NK = √3 · 2 · cos 30° = √3 · 2 · (√3/2) = 3
• KM·MK = |KM| * |MK| * cos(0) = 2 * 2 * 1 = 4

Ответ: MK · MK = 4, NP · NK = 3, KM·MK = 4.

Задание 5

Четырехугольник ABCD задан координатами своих вершин А(5;-3) B(1;2) C(4;4) D(6;1). Найдите синус угла между его диагоналями.

Найдем векторы диагоналей AC и BD: \[\vec{AC} = (4 - 5; 4 - (-3)) = (-1; 7)\] \[\vec{BD} = (6 - 1; 1 - 2) = (5; -1)\]

Косинус угла между диагоналями: \[\cos \varphi = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{BD}}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{BD}|} = \frac{(-1) \cdot 5 + 7 \cdot (-1)}{\sqrt{(-1)^2 + 7^2} \cdot \sqrt{5^2 + (-1)^2}} = \frac{-12}{\sqrt{50} \cdot \sqrt{26}} = \frac{-12}{\sqrt{1300}} = \frac{-12}{10\sqrt{13}} = \frac{-6}{5\sqrt{13}}\]

Синус угла между диагоналями: \[\sin \varphi = \sqrt{1 - \cos^2 \varphi} = \sqrt{1 - \left(\frac{-6}{5\sqrt{13}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{36}{25 \cdot 13}} = \sqrt{1 - \frac{36}{325}} = \sqrt{\frac{289}{325}} = \frac{17}{5\sqrt{13}}\]

Ответ: Синус угла между диагоналями равен 17 / (5√13).