Контрольная работа №4 по темам "Прямоугольные треугольники", "Геометрические неравенства", Вариант 3 № 1. Острые углы прямоугольного треугольника относятся как 1:5. Найдите угол, лежащий против большero катетов. № 2. Найдите неизвестную сторону х или неизвестный угол у треугольника АВС a) 33 6) 28 C 14 8) 24 № 3. Периметр А АВС = 48, АВ = АС, внешний угол при угле С равен 158°, одна из сторон равна 14. Найдите длины всех сторон и градусные меры всех углов Д АВС. 158° № 4. Определите, какие из треугольников существуют, найдите периметр этих треугольников. a) б) C 3 B B و B) 10,5 B C 7,5 18 № 5. ∠B = ∠D=90°, AB = CD. Доказать, что AD = ВС. A B D C C

№1

Острые углы прямоугольного треугольника в сумме дают 90 градусов. Пусть один угол x, тогда другой 5x.

• x + 5x = 90
• 6x = 90
• x = 15°
• 5x = 75°

Угол, лежащий против большего катета, больше, следовательно, это угол 75°.

Ответ: 75°

№2

a)

Сумма углов в треугольнике равна 180°. В прямоугольном треугольнике один угол 90°.

• y = 180° - 90° - 33°
• y = 57°

Ответ: y = 57°

б)

По теореме Пифагора:

• y² = 28² - 14²
• y² = 784 - 196
• y² = 588
• y = √588 = 14√3

Ответ: y = 14√3

в)

Сумма углов в треугольнике равна 180°.

• x = 180° - 90° - 60°
• x = 30°

Ответ: x = 30°

№3

Внешний угол при угле С равен 158°, значит, внутренний угол С равен:

• 180° - 158° = 22°

Так как АВ = АС, то углы при основании равны. Обозначим углы А и В за x.

• x + x + 22° = 180°
• 2x = 158°
• x = 79°

Пусть АВ = АС = 14. Тогда:

• P = AB + AC + BC
• 48 = 14 + 14 + BC
• BC = 20

Пусть ВС = 14. Тогда:

• P = AB + AC + BC
• 48 = AB + AC + 14
• AB + AC = 34
• Т.к. AB = AC, AB = AC = 17

Ответ: Вариант 1: AB = AC = 14, BC = 20, углы A = 79°, B = 79°, C = 22°. Вариант 2: AB = AC = 17, BC = 14, углы A = 79°, B = 79°, C = 22°.

№4

a)

В данном треугольнике все стороны равны, значит, это равносторонний треугольник.

• Периметр: 3 + 3 + 3 = 9

Ответ: Периметр = 9, равносторонний треугольник существует.

б)

Проверим неравенство треугольника: сумма двух сторон должна быть больше третьей стороны.

• 4 + 4 > 9 - неверно

Ответ: Треугольник не существует.

в)

Проверим неравенство треугольника: сумма двух сторон должна быть больше третьей стороны.

• 7.5 + 10.5 > 18 - верно
• 7.5 + 18 > 10.5 - верно
• 10.5 + 18 > 7.5 - верно

• Периметр: 7.5 + 10.5 + 18 = 36

Ответ: Периметр = 36, треугольник существует.

№5

Доказательство, что AD = BC, требует дополнительных построений и знаний, которые сложно визуализировать без интерактивных инструментов. Обычно, это делается через доказательство равенства треугольников.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники ABC и CDA.
2. AB = CD (по условию).
3. ∠B = ∠D = 90° (по условию).
4. AC - общая сторона.
5. Но для доказательства равенства AD и BC нам нужно больше информации или равенство других элементов.