Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Контрольная работа №2 по темам: "Перпендикулярность прямых и плоскостей" и "Углы между прямыми и плоскостями" Вариант 2 № 1. Длина стороны ромба ABCD равна 5 см, длина диагонали ВО равна 6 см. Через точку О пересечения диагоналей ромба проведена прямая ОМ, перпендикулярная его плоскости. Найдите расстояние от точки М до вершин ромба, если ОМ - 8 см. № 2. Отрезок АЕ перпендикулярен и плоскости равнобедренного треугольника АВС. Стороны треугольника АВ АС 6 см, ВС 8 см, АЕ 4см. Найдите расстояние от концов отрезка АЕ до прямой ВС. № 3. Дана четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной Ѕ. Основание ABCD прямоугольная трапеция с прямыми углами А и В. Отрезок SA перпендикулярен плоскости основания. Выберите из предложенного списка пары перпендикулярных прямых: 1) прямые SD и AB 2) прямые SA и DB 3) прямые СD R SA 4) прямые ЅВ и СВ № 4. ABCD ромб, отрезок КО перпендикулярен плоскости ромба. Найдите (постройте) угол между плоскостями (АВС) и (КВС). № 5. Найдите расстояние от точки № до стороны СВ прямоугольного треугольника АВС, если ANВС-5 см, АС13 см.
Ответ:
Привет! Сейчас разберем задачи из контрольной работы по геометрии. Будь внимателен и не бойся, все получится!
№1.
Давай сначала вспомним, что такое ромб. Это параллелограмм, у которого все стороны равны. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам.
В этой задаче нам дан ромб \(ABCD\) со стороной 5 см и диагональю \(BD = 6\) см. Также дана прямая \(OM\), перпендикулярная плоскости ромба, и \(OM = 8\) см. Нужно найти расстояние от точки \(M\) до вершин ромба.
1) Рассмотрим треугольник \(BOM\). Он прямоугольный, так как \(OM\) перпендикулярна плоскости ромба, а значит, и прямой \(OB\).
2) Найдем \(OB\). Так как диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам, то \(OB = \frac{BD}{2} = \frac{6}{2} = 3\) см.
3) По теореме Пифагора, \(MB = \sqrt{OM^2 + OB^2} = \sqrt{8^2 + 3^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73}\) см.
4) Теперь рассмотрим треугольник \(AOM\). Он тоже прямоугольный. Найдем \(OA\). Для этого рассмотрим треугольник \(AOB\). Он прямоугольный и равнобедренный, так как диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам.
5) По теореме Пифагора, \(AB^2 = OA^2 + OB^2\). Значит, \(OA = \sqrt{AB^2 - OB^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\) см.
6) Снова по теореме Пифагора, \(MA = \sqrt{OM^2 + OA^2} = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}\) см.
7) Так как ромб симметричен, то \(MC = MA = 4\sqrt{5}\) см и \(MD = MB = \sqrt{73}\) см.
Ответ: \(MA = MC = 4\sqrt{5}\) см, \(MB = MD = \sqrt{73}\) см.
№2.
Здесь дан равнобедренный треугольник \(ABC\) с \(AB = AC = 6\) см и \(BC = 8\) см. Отрезок \(AE\) перпендикулярен плоскости треугольника, и \(AE = 4\) см. Нужно найти расстояние от концов отрезка \(AE\) до прямой \(BC\).
1) Опустим перпендикуляр \(AH\) из вершины \(A\) на сторону \(BC\). Так как треугольник равнобедренный, \(AH\) является и медианой, то есть \(BH = HC = \frac{BC}{2} = \frac{8}{2} = 4\) см.
2) Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABH\). По теореме Пифагора, \(AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{6^2 - 4^2} = \sqrt{36 - 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\) см.
3) Теперь рассмотрим треугольник \(AEH\). Он прямоугольный, так как \(AE\) перпендикулярна плоскости треугольника \(ABC\).
4) По теореме Пифагора, \(EH = \sqrt{AE^2 + AH^2} = \sqrt{4^2 + (2\sqrt{5})^2} = \sqrt{16 + 20} = \sqrt{36} = 6\) см.
Ответ: Расстояние от концов отрезка \(AE\) до прямой \(BC\) равно 6 см.
№3.
В этой задаче дана четырехугольная пирамида \(SABCD\) с вершиной \(S\). Основание \(ABCD\) — прямоугольная трапеция с прямыми углами \(A\) и \(B\). Отрезок \(SA\) перпендикулярен плоскости основания. Нужно выбрать из предложенного списка пары перпендикулярных прямых.
1) Прямые \(SD\) и \(AB\). Так как \(ABCD\) - прямоугольная трапеция с прямыми углами при \(A\) и \(B\), то \(AB\) перпендикулярна \(AD\). Однако, \(SD\) не лежит в плоскости \(ABCD\) и не перпендикулярна \(AB\). Этот вариант не подходит.
2) Прямые \(SA\) и \(DB\). Так как \(SA\) перпендикулярна плоскости основания \(ABCD\), то \(SA\) перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Значит, \(SA\) перпендикулярна \(DB\). Этот вариант подходит.
3) Прямые \(CD\) и \(SA\). Так как \(SA\) перпендикулярна плоскости основания \(ABCD\), то \(SA\) перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Значит, \(SA\) перпендикулярна \(CD\). Этот вариант подходит.
4) Прямые \(SB\) и \(CB\). Прямая \(SB\) не перпендикулярна \(CB\). Этот вариант не подходит.
Ответ: Перпендикулярные пары прямых: \(SA\) и \(DB\), \(CD\) и \(SA\).
№4.
\(ABCD\) — ромб, отрезок \(KD\) перпендикулярен плоскости ромба. Нужно найти угол между плоскостями \((ABC)\) и \((KBC)\).
1) Построим чертёж.
2) \(KD\) перпендикулярен плоскости \((ABC)\), значит \(KD\) перпендикулярен \(DB\) и \(DC\).
3) Проведём \(DE\) перпендикулярно \(BC\). Тогда \(KE\) тоже перпендикулярно \(BC\) по теореме о трёх перпендикулярах.
4) Угол \(KED\) - линейный угол двугранного угла между плоскостями \((ABC)\) и \((KBC)\).
5) Так как \(ABCD\) - ромб, то \(BD\) является высотой треугольника \(BCD\).
6) В треугольнике \(KDC\) \(KD\) перпендикулярна \(DC\), следовательно, угол \(KDC\) - прямой.
К сожалению, без дополнительных данных (например, конкретных размеров ромба) точное значение угла \(KED\) найти не получится.
№5.
Нужно найти расстояние от точки \(N\) до стороны \(CB\) прямоугольного треугольника \(ABC\), если \(AN = BC = 5\) см и \(AC = 13\) см.
1) Построим чертёж.
2) В прямоугольном треугольнике \(ABC\) найдем сторону \(AB\) по теореме Пифагора: \(AB = \sqrt{AC^2 - BC^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\) см.
3) Площадь треугольника \(ABC\) равна \(\frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30\) см².
4) Расстояние от точки \(N\) до стороны \(CB\) - это перпендикуляр, опущенный из точки \(N\) на \(CB\). Обозначим этот перпендикуляр как \(h\).
5) Площадь треугольника \(NBC\) можно выразить как \(\frac{1}{2} \cdot CB \cdot h\). Так как \(AN = BC = 5\), то площадь треугольника \(NBC\) равна площади треугольника \(ABC\).
6) \(\frac{1}{2} \cdot CB \cdot h = 30\). Отсюда \(h = \frac{2 \cdot 30}{CB} = \frac{60}{5} = 12\) см.
Ответ: Расстояние от точки \(N\) до стороны \(CB\) равно 12 см.
Надеюсь, мои объяснения были понятными и полезными! У тебя все получится!
