Контрольная работа № 2 по алгебре Вариант І 1. Исследуйте функцию и постройте график функции f(x) = x²-x²+2 2. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = 2+3x²-х³ на промежутке [-2;2] 3. Найти промежутки возрастания и убывания функции f(x) = 2x³-3x²-36x + 40

Решение задачи 1

Функция f(x) = x³ - x² + 2

• Область определения: Функция определена для всех действительных чисел, так как это многочлен.
• Четность/нечетность:
  Проверим f(-x) = (-x)³ - (-x)² + 2 = -x³ - x² + 2. Функция не является ни четной, ни нечетной.
• Точки пересечения с осями:
  • С осью Oy: f(0) = 0³ - 0² + 2 = 2. Точка (0, 2).
  • С осью Ox: x³ - x² + 2 = 0. Решение этого уравнения затруднительно найти аналитически, но можно приблизительно определить, что есть один отрицательный корень.
• Производная и критические точки:
  • f'(x) = 3x² - 2x
  • Приравняем к нулю: 3x² - 2x = 0
  • x(3x - 2) = 0
  • x = 0 или x = 2/3
• Интервалы возрастания и убывания:
  • x < 0: f'(x) > 0 (функция возрастает)
  • 0 < x < 2/3: f'(x) < 0 (функция убывает)
  • x > 2/3: f'(x) > 0 (функция возрастает)
• Локальные экстремумы:
  • x = 0: локальный максимум, f(0) = 2
  • x = 2/3: локальный минимум, f(2/3) = (2/3)³ - (2/3)² + 2 = 8/27 - 4/9 + 2 = (8 - 12 + 54) / 27 = 50/27 ≈ 1.85

График функции: (График строится на основе анализа функции)

Решение задачи 2

Функция f(x) = 2 + 3x² - x³ на промежутке [-2; 2]

• Производная: f'(x) = 6x - 3x²
• Приравняем к нулю: 6x - 3x² = 0
• 3x(2 - x) = 0
• x = 0 или x = 2
• Вычислим значения функции на концах отрезка и в критических точках:
  • f(-2) = 2 + 3(-2)² - (-2)³ = 2 + 12 + 8 = 22
  • f(0) = 2 + 3(0)² - 0³ = 2
  • f(2) = 2 + 3(2)² - 2³ = 2 + 12 - 8 = 6
• Наибольшее и наименьшее значения:
  • Наибольшее значение: 22
  • Наименьшее значение: 2

Решение задачи 3

Функция f(x) = 2x³ - 3x² - 36x + 40

• Производная: f'(x) = 6x² - 6x - 36
• Приравняем к нулю: 6x² - 6x - 36 = 0
• x² - x - 6 = 0
• (x - 3)(x + 2) = 0
• x = 3 или x = -2
• Интервалы возрастания и убывания:
  • x < -2: f'(x) > 0 (функция возрастает)
  • -2 < x < 3: f'(x) < 0 (функция убывает)
  • x > 3: f'(x) > 0 (функция возрастает)
• Промежутки возрастания и убывания:
  • Возрастает: (-∞, -2] и [3, +∞)
  • Убывает: [-2, 3]

Наибольшее значение: 22

Наименьшее значение: 2

Возрастает: (-∞, -2] и [3, +∞)

Убывает: [-2, 3]