Контрольная работа № 4. «Теорема Пифагора и начала тригонометрии» Вариант -2 № 1. Катеты прямоугольного треугольника равны 24 см и 7 см. Найди гипотенузу данного треугольника. (0,5 балла) № 2. Сторона прямоугольника равна 15 а диагональ 17. Найдите другую сторону прямоугольника. (1 балл) № 3. Найдите катет прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 20 дм, а второй катет равен 16 дм. (0,5 балла) № 4. Найдите высоту равностороннего треугольника, если его сторона равна 4 см. (1 балл) № 5. Найдите косинус угла А треугольника АВС с прямым углом С, если ВС = 21, AC =20. (1 балл). № 6. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее основания равны 5 см и 17 см, а боковая сторона равна 10 см. (1 балл)

Решение Вариант 2:

1. №1:

   По теореме Пифагора, гипотенуза c равна:

   \[c = \sqrt{a^2 + b^2}\]

   Подставляем значения катетов a = 24 см и b = 7 см:

   \[c = \sqrt{24^2 + 7^2} = \sqrt{576 + 49} = \sqrt{625} = 25\]

   Гипотенуза равна 25 см.

2. №2:

   Пусть a - другая сторона прямоугольника. По теореме Пифагора, диагональ d равна:

   \[d^2 = a^2 + b^2\]

   Подставляем значения: d = 17, b = 15:

   \[17^2 = a^2 + 15^2\]

   \[289 = a^2 + 225\]

   \[a^2 = 289 - 225 = 64\]

   \[a = \sqrt{64} = 8\]

   Другая сторона равна 8.

3. №3:

   Пусть a - искомый катет. По теореме Пифагора:

   \[c^2 = a^2 + b^2\]

   Подставляем значения: c = 20 дм, b = 16 дм:

   \[20^2 = a^2 + 16^2\]

   \[400 = a^2 + 256\]

   \[a^2 = 400 - 256 = 144\]

   \[a = \sqrt{144} = 12\]

   Искомый катет равен 12 дм.

4. №4:

   Высота равностороннего треугольника со стороной a равна:

   \[h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\]

   Подставляем значение: a = 4 см:

   \[h = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\]

   Высота равна 2√3 см.

5. №5:

   Косинус угла A в прямоугольном треугольнике ABC (угол C прямой) равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

   \[\cos(A) = \frac{AC}{AB}\]

   По теореме Пифагора найдем AB:

   \[AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{20^2 + 21^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29\]

   Тогда:

   \[\cos(A) = \frac{20}{29}\]

6. №6:

   Площадь равнобедренной трапеции равна:

   \[S = \frac{a + b}{2} \cdot h\]

   где a и b - основания трапеции, h - высота.

   Найдем высоту:

   \[h = \sqrt{c^2 - (\frac{b-a}{2})^2} = \sqrt{10^2 - (\frac{17-5}{2})^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8\]

   где c - боковая сторона.

   Площадь равна:

   \[S = \frac{5 + 17}{2} \cdot 8 = \frac{22}{2} \cdot 10 = 11 \cdot 10 = 110\]

   Площадь равна 110 см².