Контрольная работа № 4. Решение прямоугольных треугольников ВАРИАНТ 2 Часть 1 Запишите номера верных ответов к заданиям 1 и 2. 1. Используя данные, указан- ные на рисунке, найдите косинус угла М. 1) 12 2) 5 3) 12 4) 13 13 5 12 2. Треугольник АВС — прямоугольный с прямым уг- лом С. Укажите верные равенства. 1) AC = AB sin B 3) AB= AC cos B 2) AC = BC cos B 4) AB = AC sin B Часть 2 Запишите ответы к заданиям 3 и 4. 3. Найдите периметр равнобедренного треугольника АВС, если его основание АС равно 24, а высота ВН образует с боковой стороной угол, синус которого равен 0,6. 4. Используя данные, указанные на рисунке, найдите площадь ромба. Часть 3 Запишите обоснованное решение задач 5 и 6. 5. В треугольнике MNP ∠N = 90°, PN = 16, sinM = 0,8. Найдите катет MN и tgP. 6*. Прямая ВК касается окружности с центром О в точке В. Найдите радиус ок- ружности, если ОК = 4√10, tgOKB = 1.

Найдем периметр равнобедренного треугольника ABC:

Основание AC = 24. Высота BH образует с боковой стороной угол, синус которого равен 0,6. Значит, \(\sin(\angle ABH) = 0.6\).

Пусть боковая сторона равна x. Тогда:

\[\frac{AH}{x} = 0.6\]

Так как AH = AC / 2 = 12, получаем:

\[\frac{12}{x} = 0.6\]

\[x = \frac{12}{0.6} = 20\]

Боковая сторона равна 20. Периметр треугольника ABC:

\[P = AC + 2 \cdot AB = 24 + 2 \cdot 20 = 24 + 40 = 64\]

Периметр равен 64.

Найдем площадь ромба:

Диагонали ромба равны 10 и 10. Угол между стороной и диагональю равен 45°. Площадь ромба можно найти как:

\[S = a^2 \cdot \sin(\alpha)\]

где a - сторона ромба, \(\alpha\) - угол между сторонами.

Но нам известна диагональ. Площадь ромба также можно найти как половину произведения диагоналей:

\[S = \frac{1}{2} d_1 d_2\]

Диагональ известна. Найдем вторую диагональ:

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. Так как угол равен 45°, то этот треугольник равнобедренный. Следовательно, половина второй диагонали равна половине первой диагонали, то есть 5.

Вторая диагональ равна 10.

\[S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 = 50\]

Площадь ромба равна 50.

Найдем катет MN и \(tgP\) в треугольнике MNP:

Дано: \(\angle N = 90^\circ\), \(PN = 16\), \(\sin M = 0.8\). Так как \(\sin M = \frac{PN}{MP}\), то

\[MP = \frac{PN}{\sin M} = \frac{16}{0.8} = 20\]

По теореме Пифагора:

\[MN = \sqrt{MP^2 - PN^2} = \sqrt{20^2 - 16^2} = \sqrt{400 - 256} = \sqrt{144} = 12\]

Теперь найдем \(tgP\). Так как \(tgP = \frac{MN}{PN}\), то

\[tgP = \frac{12}{16} = 0.75\]

Найдем радиус окружности:

Дано: прямая BK касается окружности с центром O в точке B, \(OK = 4\sqrt{10}\), \(tg \angle OKB = \frac{1}{3}\). Так как BK касается окружности в точке B, то OB - радиус окружности и \(OB \perp BK\). Треугольник OKB - прямоугольный. Тогда:

\[tg \angle OKB = \frac{OB}{BK} = \frac{1}{3}\]

Значит, \(BK = 3OB\). По теореме Пифагора:

\[OK^2 = OB^2 + BK^2\]

\[(4\sqrt{10})^2 = OB^2 + (3OB)^2\]

\[16 \cdot 10 = OB^2 + 9OB^2\]

\[160 = 10OB^2\]

\[OB^2 = 16\]

\[OB = \sqrt{16} = 4\]

Следовательно, радиус окружности равен 4.