Контрольная работа № 3 по теме «Параллельные прямые. Сумма углов треугольника» Вариант 4 1. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 82°. Найдите угол при вершине этого треугольника. 2. Найдите градусную меру угла ВМР (рис. 59). 3. Какова градусная мера угла В, изображённого на рисунке 607 Рис. 59 Рис. 60 A N 32 B 45 E M D 1 A 92 D F 88 C E 54 4. Докажите, что ZAFN=ZMNF (рис. 61), если известно, что AN - FM и AN || FM. Рис. 61 5. В треугольнике АВС известно, что ∠B = 90°, ∠ACB = 60°, отрезок CD - биссектриса треугольника. Найдите катет АВ, если BD = 5 см. F M A N

Ответ: 16°

Решение:

Шаг 1: Найдем сумму углов при основании.

Так как углы при основании равнобедренного треугольника равны, их сумма равна: \[82° + 82° = 164°\]

Шаг 2: Найдем угол при вершине.

Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому угол при вершине равен: \[180° - 164° = 16°\]

Ответ: 16°

Ответ: ∠BMF = 92°

Решение:

Шаг 1: Определим, какие углы называются смежными.

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие образуют прямую линию, называются смежными.

Шаг 2: Найдем угол BMF.

Так как ∠BMC и ∠88° смежные, то их сумма равна 180°. ∠BMF = 180° - 88° = 92°

Ответ: ∠BMF = 92°

Ответ: ∠B = 69°

Решение:

Шаг 1: Рассмотрим треугольник BFE.

Сумма углов в треугольнике равна 180°.

Шаг 2: Найдем угол ∠BEF.

∠BEF = 180° - (45° + 54°) = 180° - 99° = 81°

Шаг 3: Найдем угол ∠AED.

∠AED = ∠BEF = 81° (как вертикальные углы)

Шаг 4: Рассмотрим треугольник ADE.

Сумма углов в треугольнике равна 180°.

Шаг 5: Найдем угол ∠B.

∠B = 180° - (32° + 81°) = 180° - 113° = 67°

Ответ: ∠B = 67°

Ответ: Доказано

Решение:

Дано:

• ∠AFN и ∠MNF (рис. 61)
• AN || FM

Доказать: ∠AFN = ∠MNF

Доказательство:

Если AN || FM, то углы ∠AFN и ∠MNF являются накрест лежащими углами при параллельных прямых AN и FM и секущей FN. Накрест лежащие углы равны, следовательно, ∠AFN = ∠MNF.

Ответ: Доказано

Ответ: АВ = 5√3 см

Решение:

Шаг 1: Определим углы треугольника.

Дано: ΔABC, ∠B = 90°, ∠ACB = 60°, CD - биссектриса, BD = 5 см.

Тогда ∠A = 180° - 90° - 60° = 30°

Шаг 2: Найдем углы, образованные биссектрисой.

∠BCD = ∠DCA = 60° / 2 = 30°

Шаг 3: Рассмотрим треугольник BCD.

∠BDC = 180° - 90° - 30° = 60°

Шаг 4: Найдем сторону BC.

BC / BD = tg(60°) BC = BD * tg(60°) BC = 5 * √3 см

Шаг 5: Найдем сторону AB.

AB / BC = tg(60°) AB = BC * tg(60°) AB = 5√3 * 1 = 5√3 см

Ответ: АВ = 5√3 см