Контрольная работа № 6 по теме «Основные тригонометрические формулы» Вариант 1 1. Вычислить: 1) cos 765°; 2) sinπ. 19 6 5 13 2. Вычислить sina, еслисов а=и-6 π<α<-5π. 3. Упростить выражение: 1) sin a+β+sina-β; COS πα+COS 2) 3 2 πα 1+2 cosa sin-a 4. Решить уравнениesin -3x) cos2x-1=sinxcos(-2x 2 1 2 3 5. Доказать тождествосоѕ 4а+1==sin 4 a- ctga-tga.

Задание 1.1

Вычислить cos 765°.

Решение:

Шаг 1: Представим угол 765° как сумму углов, кратных 360° и угла в пределах одного оборота.

765° = 2 * 360° + 45°

Шаг 2: Используем периодичность косинуса: cos(α + 360° * n) = cos α

cos 765° = cos (2 * 360° + 45°) = cos 45°

Шаг 3: Вспоминаем значение косинуса для угла 45°.

cos 45° = \[ \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Ответ:

cos 765° = \[ \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Задание 1.2

Вычислить sin(\[ \frac{19}{6} \]π).

Решение:

Шаг 1: Представим \[ \frac{19}{6} \]π как сумму целого числа π и угла в пределах от 0 до 2π.

\[ \frac{19}{6} \]π = 3π + \[ \frac{π}{6} \]

Шаг 2: Используем свойство синуса: sin(π + α) = -sin α и sin(2π + α) = sin α.

sin(\[ \frac{19}{6} \]π) = sin(3π + \[ \frac{π}{6} \]) = sin(2π + π + \frac{π}{6} \]) = sin(π + \frac{π}{6} \]) = -sin(\[ \frac{π}{6} \])

Шаг 3: Вспоминаем значение синуса для угла \[ \frac{π}{6} \] (30°).

sin(\[ \frac{π}{6} \]) = \[ \frac{1}{2} \]

Ответ:

sin(\[ \frac{19}{6} \]π) = -\[ \frac{1}{2} \]

Задание 2

Вычислить sin α, если cos α = \[ \frac{5}{13} \] и -6π < α < -5π.

Решение:

Шаг 1: Определим знак sin α, учитывая заданный интервал для α.

-6π < α < -5π

Это означает, что угол α находится в третьей четверти (между -6π и -5.5π) или во второй четверти (между -5.5π и -5π), где синус может быть как положительным, так и отрицательным, но так как cos α > 0, то угол находится в четвертой четверти, где синус отрицателен.

Шаг 2: Используем основное тригонометрическое тождество: sin² α + cos² α = 1

sin² α = 1 - cos² α

sin² α = 1 - (\[ \frac{5}{13} \])² = 1 - \[ \frac{25}{169} \] = \[ \frac{169 - 25}{169} \] = \[ \frac{144}{169} \]

Шаг 3: Извлекаем квадратный корень.

sin α = ±\[ \frac{12}{13} \]

Шаг 4: Выбираем знак, учитывая, что sin α < 0.

sin α = -\[ \frac{12}{13} \]

Ответ:

sin α = -\[ \frac{12}{13} \]

Задание 3.1

Упростить выражение: sin(α + β) + sin(α - β).

Решение:

Шаг 1: Используем формулы синуса суммы и разности углов:

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β

sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β

Шаг 2: Подставляем в исходное выражение:

sin(α + β) + sin(α - β) = (sin α cos β + cos α sin β) + (sin α cos β - cos α sin β)

Шаг 3: Упрощаем:

sin(α + β) + sin(α - β) = 2 sin α cos β

Ответ:

2 sin α cos β

Задание 3.2

Упростить выражение: \[ \frac{cos(π - α) + cos(\frac{3}{2}π + α)}{1 + 2 cos(-α) sin(-α)} \]

Решение:

Шаг 1: Упрощаем числитель:

cos(π - α) = -cos α

cos(\[ \frac{3}{2} \]π + α) = sin α

cos(π - α) + cos(\[ \frac{3}{2} \]π + α) = -cos α + sin α

Шаг 2: Упрощаем знаменатель:

cos(-α) = cos α

sin(-α) = -sin α

1 + 2 cos(-α) sin(-α) = 1 - 2 cos α sin α

Шаг 3: Записываем упрощенное выражение:

\[ \frac{-cos α + sin α}{1 - 2 cos α sin α} \]

Шаг 4: Замечаем, что знаменатель можно преобразовать, используя формулу синуса двойного угла: sin 2α = 2 sin α cos α

\[ \frac{sin α - cos α}{1 - sin 2α} \]

Шаг 5: Представим 1 как sin² α + cos² α:

\[ \frac{sin α - cos α}{sin^2 α + cos^2 α - 2 sin α cos α} \]

Шаг 6: Замечаем полный квадрат в знаменателе:

\[ \frac{sin α - cos α}{(sin α - cos α)^2} \]

Шаг 7: Упрощаем дробь:

\[ \frac{1}{sin α - cos α} \]

Ответ:

\[ \frac{1}{sin α - cos α} \]

Задание 4

Решить уравнение: sin(\[ \frac{π}{2} \] - 3x) cos 2x - 1 = sin 3x cos(\[ \frac{3π}{2} \] - 2x).

Решение:

Шаг 1: Упростим выражение, используя формулы приведения:

sin(\[ \frac{π}{2} \] - 3x) = cos 3x

cos(\[ \frac{3π}{2} \] - 2x) = -sin 2x

cos 3x cos 2x - 1 = -sin 3x sin 2x

Шаг 2: Преобразуем уравнение:

cos 3x cos 2x + sin 3x sin 2x = 1

cos(3x - 2x) = 1

cos x = 1

Шаг 3: Найдем решение уравнения cos x = 1.

x = 2πn, где n - целое число.

Ответ:

x = 2πn, n ∈ Z

Задание 5

Доказать тождество: cos 4α + 1 = \[ \frac{1}{2} \] sin 4α (ctg α - tg α).

Решение:

Шаг 1: Преобразуем правую часть:

\[ \frac{1}{2} \] sin 4α (ctg α - tg α) = \[ \frac{1}{2} \] sin 4α ( \[ \frac{cos α}{sin α} \] - \[ \frac{sin α}{cos α} \]) = \[ \frac{1}{2} \] sin 4α ( \[ \frac{cos^2 α - sin^2 α}{sin α cos α} \])

Шаг 2: Используем формулу синуса двойного угла: sin 2α = 2 sin α cos α

\[ \frac{1}{2} \] sin 4α ( \[ \frac{cos^2 α - sin^2 α}{sin α cos α} \]) = \[ \frac{1}{2} \] sin 4α ( \[ \frac{cos 2α}{\frac{1}{2} sin 2α} \]) = \[ \frac{sin 4α cos 2α}{sin 2α} \]

Шаг 3: Используем формулу синуса двойного угла: sin 4α = 2 sin 2α cos 2α

\[ \frac{sin 4α cos 2α}{sin 2α} \] = \[ \frac{2 sin 2α cos 2α cos 2α}{sin 2α} \] = 2 cos² 2α

Шаг 4: Преобразуем левую часть:

cos 4α + 1 = 2 cos² 2α

Шаг 5: Доказали тождество: 2 cos² 2α = 2 cos² 2α

Ответ:

Тождество доказано.