Контрольная работа № 6 по теме: «Геометрическая прогрессия». Вариант 1. 1. Дана геометрическая прогрессия, первый член которой равен -32, а знаменатель равен а) Найдите ее шестой член. б) Найдите сумму ее первых семи членов. 2. В геометрической прогрессии (а) с положительными чле нами аз 7, 45 28. Найдите сумму первых шести чле нов этой прогрессии. 3. В геометрической прогрессии (ад) 49-15, 411 135. Най- дите 210- 4. В геометрической прогрессии (а) а 12. Найдите ад ав 5. Знаменатель геометрической прогрессии (5) равен Найдите Вариант 2. 1. Дана геометрическая прогрессия, первый член которой равен -27, а знаменатель равен а) Найдите ее шестой член. б) Найдите сумму ее первых пяти членов. 2. В геометрической прогрессии (а) с положительными чле нами а8, 4, 72. Найдите сумму первых пяти членов этой прогрессии. 3. В геометрической прогрессии (ад) 210-27, 412-108. Най- дите 211- 4. В геометрической прогрессии (а) аз 11. Найдите аз ат. 5*. Знаменатель геометрической прогрессии (6) равен Найдите

Ответ: Решение контрольной работы № 6 по теме: «Геометрическая прогрессия» представлено ниже.

Вариант 1

1. Дана геометрическая прогрессия: первый член \(a_1 = -32\), знаменатель \(q = \frac{1}{2}\)

а) Найдите ее шестой член.

Формула n-го члена геометрической прогрессии: \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\)

Тогда:

\(a_6 = -32 \cdot (\frac{1}{2})^{6-1} = -32 \cdot (\frac{1}{2})^5 = -32 \cdot \frac{1}{32} = -1\)

б) Найдите сумму ее первых семи членов.

Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии: \(S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}\)

Тогда:

\(S_7 = \frac{-32(1 - (\frac{1}{2})^7)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{-32(1 - \frac{1}{128})}{\frac{1}{2}} = \frac{-32(\frac{127}{128})}{\frac{1}{2}} = -32 \cdot \frac{127}{128} \cdot 2 = -\frac{127}{2} = -63.5\)

2. В геометрической прогрессии \(a_3 = 7\), \(a_5 = 28\). Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии.

Так как \(a_5 = a_3 \cdot q^2\), то \(q^2 = \frac{a_5}{a_3} = \frac{28}{7} = 4\). Следовательно, \(q = \pm 2\).

Если все члены положительные, то \(q = 2\). Тогда \(a_1 = \frac{a_3}{q^2} = \frac{7}{4}\)

Сумма первых шести членов: \(S_6 = \frac{a_1(1 - q^6)}{1 - q} = \frac{\frac{7}{4}(1 - 2^6)}{1 - 2} = \frac{\frac{7}{4}(1 - 64)}{-1} = -\frac{7}{4} \cdot (-63) = \frac{441}{4} = 110.25\)

3. В геометрической прогрессии \(a_9 = 15\), \(a_{11} = 135\). Найдите \(a_{10}\).

Так как \(a_{11} = a_9 \cdot q^2\), то \(q^2 = \frac{a_{11}}{a_9} = \frac{135}{15} = 9\). Следовательно, \(q = \pm 3\).

Тогда \(a_{10} = a_9 \cdot q\), и в зависимости от знака q имеем два варианта:

\(a_{10} = 15 \cdot 3 = 45\) или \(a_{10} = 15 \cdot (-3) = -45\)

4. В геометрической прогрессии \(a_2 \cdot a_6 = 12\). Найдите \(a_3 \cdot a_5\).

Для геометрической прогрессии верно: \(a_2 \cdot a_6 = a_3 \cdot a_5\)

Следовательно, \(a_3 \cdot a_5 = 12\)

5*. Знаменатель геометрической прогрессии \((b_n)\) равен \(\frac{1}{2}\). Найдите \(\frac{b_6}{b_4}\).

Так как \(b_6 = b_4 \cdot q^2\), то \(\frac{b_6}{b_4} = q^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}\)

Вариант 2

1. Дана геометрическая прогрессия: первый член \(a_1 = -27\), знаменатель \(q = \frac{1}{3}\)

а) Найдите ее шестой член.

Формула n-го члена геометрической прогрессии: \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\)

Тогда:

\(a_6 = -27 \cdot (\frac{1}{3})^{6-1} = -27 \cdot (\frac{1}{3})^5 = -27 \cdot \frac{1}{243} = -\frac{1}{9}\)

б) Найдите сумму ее первых пяти членов.

Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии: \(S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}\)

Тогда:

\(S_5 = \frac{-27(1 - (\frac{1}{3})^5)}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{-27(1 - \frac{1}{243})}{\frac{2}{3}} = \frac{-27(\frac{242}{243})}{\frac{2}{3}} = -27 \cdot \frac{242}{243} \cdot \frac{3}{2} = -\frac{121}{3} = -40\frac{1}{3}\)

2. В геометрической прогрессии \(a_3 = 8\), \(a_5 = 72\). Найдите сумму первых пяти членов этой прогрессии.

Так как все члены положительные, то \(q = \sqrt{\frac{a_5}{a_3}} = \sqrt{\frac{72}{8}} = \sqrt{9} = 3\). Тогда \(a_1 = \frac{a_3}{q^2} = \frac{8}{9}\)

Сумма первых пяти членов: \(S_5 = \frac{a_1(1 - q^5)}{1 - q} = \frac{\frac{8}{9}(1 - 3^5)}{1 - 3} = \frac{\frac{8}{9}(1 - 243)}{-2} = -\frac{4}{9} \cdot (-242) = \frac{968}{9} = 107\frac{5}{9}\)

3. В геометрической прогрессии \(a_{10} = 27\), \(a_{12} = 108\). Найдите \(a_{11}\).

Так как \(a_{12} = a_{10} \cdot q^2\), то \(q^2 = \frac{a_{12}}{a_{10}} = \frac{108}{27} = 4\). Следовательно, \(q = \pm 2\).

Тогда \(a_{11} = a_{10} \cdot q\), и в зависимости от знака q имеем два варианта:

\(a_{11} = 27 \cdot 2 = 54\) или \(a_{11} = 27 \cdot (-2) = -54\)

4. В геометрической прогрессии \(a_3 \cdot a_9 = 11\). Найдите \(a_5 \cdot a_7\).

Для геометрической прогрессии верно: \(a_3 \cdot a_9 = a_5 \cdot a_7\)

Следовательно, \(a_5 \cdot a_7 = 11\)

5*. Знаменатель геометрической прогрессии \((b_n)\) равен \(\frac{1}{3}\). Найдите \(\frac{b_7}{b_9}\).

Так как \(b_7 = b_9 \cdot \frac{1}{q^2}\), то \(\frac{b_7}{b_9} = \frac{1}{q^2} = \frac{1}{(1/3)^2} = 9\)

Ответ: Решение контрольной работы № 6 по теме: «Геометрическая прогрессия» представлено выше.