Контрольная работа №7. 8 класс. 2 вариант. 1. Докажите неравенство: a)(x + 7)² > x(x+14); 6)b² +5≥10(b-2). 2. Известно, что a > b . Сравните: a)18а и 18b; 6) -6,7а и -6,7b; в)3,56 и 3,5a. 3. Известно, что 3,1 <√10 <3,2. Оцените: a)3√10; 6)-√10. 4. Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторонам a см и в см, если известно, что 1,5 < a < 1,6, 3,2 < b < 3,3. 5. К каждому из чисел 6, 5, 4 и 3 прибавили одно и тоже числ а. Сравните произведение крайних членов получившейся последовательности с произведением средних членов.

Ответ: Решения ниже

1. Докажите неравенство:

1. a) \[ (x + 7)^2 > x(x + 14) \] \[ x^2 + 14x + 49 > x^2 + 14x \] \[ 49 > 0 \] Неравенство верно.
2. б) \[ b^2 + 5 \ge 10(b - 2) \] \[ b^2 + 5 \ge 10b - 20 \] \[ b^2 - 10b + 25 \ge 0 \] \[ (b - 5)^2 \ge 0 \] Неравенство верно, так как квадрат любого числа неотрицателен.

2. Известно, что \(a > b\). Сравните:

1. a) \(18a\) и \(18b\)

   Так как \(a > b\) и 18 - положительное число, то \(18a > 18b\).

2. б) \(-6.7a\) и \(-6.7b\)

   Так как \(a > b\) и -6.7 - отрицательное число, то \(-6.7a < -6.7b\).

3. в) \(3.5b\) и \(3.5a\)

   Так как \(a > b\) и 3.5 - положительное число, то \(3.5a > 3.5b\), следовательно, \(3.5b < 3.5a\).

3. Известно, что \(3.1 < \sqrt{10} < 3.2\). Оцените:

1. a) \(3\sqrt{10}\)

   Умножим все части неравенства на 3:

   \[ 3 \cdot 3.1 < 3\sqrt{10} < 3 \cdot 3.2 \] \[ 9.3 < 3\sqrt{10} < 9.6 \]
2. б) \(-\sqrt{10}\)

   Умножим все части неравенства на -1:

   \[ -3.2 < -\sqrt{10} < -3.1 \]

4. Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторонами \(a\) см и \(b\) см, если известно, что \(1.5 < a < 1.6\), \(3.2 < b < 3.3\).

Периметр прямоугольника: \(P = 2(a + b)\)

Площадь прямоугольника: \(S = a \cdot b\)

1. Оценка периметра:

   Сложим неравенства для \(a\) и \(b\):

   \[ 1.5 + 3.2 < a + b < 1.6 + 3.3 \] \[ 4.7 < a + b < 4.9 \]

   Умножим все части на 2:

   \[ 2 \cdot 4.7 < 2(a + b) < 2 \cdot 4.9 \] \[ 9.4 < P < 9.8 \]

2. Оценка площади:

   Умножим неравенства для \(a\) и \(b\):

   \[ 1.5 \cdot 3.2 < a \cdot b < 1.6 \cdot 3.3 \] \[ 4.8 < S < 5.28 \]

5. К каждому из чисел 6, 5, 4 и 3 прибавили одно и тоже число \(a\). Сравните произведение крайних членов получившейся последовательности с произведением средних членов.

Полученная последовательность: \(6 + a, 5 + a, 4 + a, 3 + a\)

Произведение крайних членов: \((6 + a)(3 + a) = 18 + 9a + a^2\)

Произведение средних членов: \((5 + a)(4 + a) = 20 + 9a + a^2\)

Сравним произведения:

\(18 + 9a + a^2 < 20 + 9a + a^2\)

Следовательно, произведение крайних членов меньше произведения средних членов.

Ответ: Решения выше