Кондитер испек 40 рогаликов. Известно, что 10 рогаликов он покрыл глазурью и 20 рогаликов посыпал сахарной крошкой (рогалик с глазурью может быть посыпан сахарной крошкой). Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях. Найдутся 10 рогаликов, на которых нет ни глазури, ни сахарной крошки.

Решение:

Пусть G - множество рогаликов с глазурью, K - множество рогаликов с сахарной крошкой. Всего рогаликов - 40.

Дано:

• \( |G| = 10 \)
• \( |K| = 20 \)

Условие: рогалик с глазурью МОЖЕТ быть посыпан сахарной крошкой. Это означает, что пересечение множеств G и K не является пустым, но и не обязательно покрывает все рогалики с глазурью или крошкой.

Рассмотрим утверждение: «Найдутся 10 рогаликов, на которых нет ни глазури, ни сахарной крошки.»

Для того чтобы понять, верно ли это утверждение, найдем минимальное возможное количество рогаликов, которые имеют хотя бы одно покрытие (глазурь или крошку). Это достигается, когда пересечение \( |G \cap K| \) максимально возможное, то есть когда все рогалики с глазурью также имеют крошку (так как рогалик с глазурью может быть посыпан крошкой).

• Максимальное пересечение \( |G \cap K| \) = \( |G| \) = 10.
• Тогда количество рогаликов, имеющих хотя бы одно покрытие, равно \( |G \cup K| = |G| + |K| - |G \cap K| = 10 + 20 - 10 = 20 \).
• В этом случае количество рогаликов без покрытия равно \( 40 - 20 = 20 \).

Теперь найдем максимальное возможное количество рогаликов, которые имеют хотя бы одно покрытие. Это достигается, когда пересечение \( |G \cap K| \) минимально возможное. В данном случае, минимальное пересечение может быть 0, если считать, что эти группы рогаликов абсолютно не пересекаются, но по условию «рогалик с глазурью может быть посыпан сахарной крошкой», что означает, что пересечение может быть от 0 до 10. Однако, если мы хотим минимизировать количество покрытых рогаликов, мы должны как можно меньше их пересекать.

Если предположить, что пересечение может быть 0, то количество рогаликов с покрытием равно \( |G \cup K| = |G| + |K| = 10 + 20 = 30 \). Количество рогаликов без покрытия равно \( 40 - 30 = 10 \).

Таким образом, количество рогаликов без покрытия может быть от 10 до 20.

Утверждение «Найдутся 10 рогаликов, на которых нет ни глазури, ни сахарной крошки» является верным, так как минимальное количество рогаликов без покрытия равно 10.

Утверждение верно.