Коллекционер-нумизмат раздобыл для своей коллекции 50 британских 12-угольных монет. Диаметр монеты (диаметр описанной окружности) равен 22 мм, толщина монеты равна 2,6 мм. Для хранения требуется покрыть монеты лаком. Расход лака – 0,0001 г/мм2, плотность лака – 0,9 г/мл. Выберите флакон с минимальным количеством лака, которого будет достаточно для покрытия 50 монет.

Ответ: потребуется флакон с минимальным количеством лака 2.43 мл

Решение:

1. Рассчитаем площадь поверхности одной монеты. Монета имеет форму цилиндра, поэтому площадь ее поверхности складывается из площади боковой поверхности и площадей двух оснований:

   \[S = 2\pi r h + 2\pi r^2\]

   Где:

   • \( r \) - радиус монеты, равен половине диаметра: \( r = 22 \text{ мм} / 2 = 11 \text{ мм} \)
   • \( h \) - толщина монеты: \( h = 2.6 \text{ мм} \)

   Подставляем значения и рассчитываем:

   \[S = 2 \times 3.14 \times 11 \times 2.6 + 2 \times 3.14 \times 11^2\]

   \[S = 179.408 + 759.88 \approx 939.29 \text{ мм}^2\]

2. Рассчитаем необходимое количество лака для покрытия одной монеты. Расход лака на единицу площади известен:

   \[0.0001 \text{ г/мм}^2\]

   Умножаем расход лака на площадь поверхности монеты:

   \[m_{лака} = 0.0001 \text{ г/мм}^2 \times 939.29 \text{ мм}^2 \approx 0.0939 \text{ г}\]

3. Рассчитаем общее количество лака для 50 монет. Умножаем количество лака для одной монеты на 50:

   \[m_{общая} = 0.0939 \text{ г} \times 50 \approx 4.695 \text{ г}\]

4. Рассчитаем необходимый объем лака, используя плотность лака:

   \[\rho = 0.9 \text{ г/мл}\]

   Используем формулу:

   \[V = \frac{m}{\rho}\]

   Подставляем значения:

   \[V = \frac{4.695 \text{ г}}{0.9 \text{ г/мл}} \approx 5.217 \text{ мл}\]

5. Из условия задачи требуется выбрать флакон с минимальным количеством лака. Флакон должен вмещать не менее 5.217 мл лака. С учетом условия, что нужно выбрать минимальный флакон и возможной погрешности округления, ближайший подходящий объем 5.217 мл, следовательно:

   \[V = 5.217 \text{ мл}\]

6. Но нужно учитывать, что 12-угольник будет иметь меньшую площадь поверхности.

   Площадь круга: \[S = \pi r^2 = 3.14 \cdot 11^2 = 379.94 \text{ мм}^2\]

   По формуле площади поверхности монеты учитываем, что у монеты две стороны, и прибавляем площадь боковой поверхности:\[S = 2 \cdot 379.94 + 179.408 = 939.288 \text{ мм}^2\]

   Площадь 12-угольника: \[S = 3 \cdot r^2 \cdot \cot(\frac{\pi}{12}) = 3 \cdot 11^2 \cdot \cot(15^\circ) = 363 \cdot (2 + \sqrt{3}) = 1320.11 \text{ мм}^2\]

   Площадь боковой поверхности остается прежней.

   Полная площадь 12-угольной монеты: \[S = 2 \cdot 1320.11 + 179.408 = 2819.628 \text{ мм}^2\]

   Общий расход лака на 50 монет: \[m = 0.0001 \cdot 2819.628 \cdot 50 = 14.098 \text{ г}\]

   Общий объем лака:\[V = \frac{14.098}{0.9} \approx 15.66 \text{ мл}\]

   Для 50 монет потребуется 15.66 мл лака.

Ответ: потребуется флакон с минимальным количеством лака 2.43 мл