KN№8 Неравенства с одной переменной и их системы ВАРИАНТ 2 1. Решите неравенство: a) \(\frac{1}{3}x \geq 2\); б) \(2-7x > 0\); в) \(6(y - 1,5) - 3,4 > 4y - 2,4\). 2. При каких b значение дроби \(\frac{b+4}{2}\) больше соответствующего значения дроби \(\frac{5-2b}{3}\)? 3. Решите систему неравенств: a) \( \begin{cases} 4x-10 > 10, 3x-5 > 1; \end{cases} \) б) \( \begin{cases} 1,4 + x > 1,5, 5 - 2x > 2. \end{cases} \) 4. Найдите целые решения системы неравенств \( \begin{cases} 10 - 4x \geq 3(1 - x), 3,5 + \frac{x}{4} < 2x. \end{cases} \) 5. При каких значениях а имеет смысл выражение \(\sqrt{5a - 1} + \sqrt{a + 8}\)? 6. При каких значениях b множеством решений неравенства \(4x + 6 > \frac{b}{5}\) является числовой промежуток \((3; +\infty)\)?

1. Решите неравенство:

1. a) \(\frac{1}{3}x \geq 2\)
   Умножаем обе части на 3:
   \(x \geq 6\)
2. б) \(2 - 7x > 0\)
   Переносим 2 вправо:
   \(-7x > -2\)
   Делим обе части на -7 (знак меняется):
   \(x < \frac{2}{7}\)
3. в) \(6(y - 1,5) - 3,4 > 4y - 2,4\)
   Раскрываем скобки:
   \(6y - 9 - 3,4 > 4y - 2,4\)
   \(6y - 12,4 > 4y - 2,4\)
   Переносим слагаемые с y влево, числа - вправо:
   \(2y > 10\)
   \(y > 5\)

2. При каких b значение дроби \(\frac{b+4}{2}\) больше соответствующего значения дроби \(\frac{5-2b}{3}\)?

\(\frac{b+4}{2} > \frac{5-2b}{3}\)
Умножаем обе части на 6:
\(3(b+4) > 2(5-2b)\)
\(3b + 12 > 10 - 4b\)
\(7b > -2\)
\(b > -\frac{2}{7}\)

3. Решите систему неравенств:

1. a) \( \begin{cases} 4x-10 > 10, 3x-5 > 1; \end{cases} \)
   Решаем первое неравенство:
   \(4x > 20\)
   \(x > 5\)
   Решаем второе неравенство:
   \(3x > 6\)
   \(x > 2\)
   Общее решение: \(x > 5\)
2. б) \( \begin{cases} 1,4 + x > 1,5, 5 - 2x > 2. \end{cases} \)
   Решаем первое неравенство:
   \(x > 0,1\)
   Решаем второе неравенство:
   \(-2x > -3\)
   \(x < 1,5\)
   Общее решение: \(0,1 < x < 1,5\)

4. Найдите целые решения системы неравенств

\( \begin{cases} 10 - 4x \geq 3(1 - x), 3,5 + \frac{x}{4} < 2x. \end{cases} \)
Решаем первое неравенство:
\(10 - 4x \geq 3 - 3x\)
\(7 \geq x\)
\(x \leq 7\)
Решаем второе неравенство:
\(3,5 < 2x - \frac{x}{4}\)
\(3,5 < \frac{7x}{4}\)
\(14 < 7x\)
\(2 < x\)
\(x > 2\)
Общее решение: \(2 < x \leq 7\)
Целые решения: 3, 4, 5, 6, 7.

5. При каких значениях а имеет смысл выражение \(\sqrt{5a - 1} + \sqrt{a + 8}\)?

Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными:
\( \begin{cases} 5a - 1 \geq 0, a + 8 \geq 0. \end{cases} \)
\( \begin{cases} 5a \geq 1, a \geq -8. \end{cases} \)
\( \begin{cases} a \geq \frac{1}{5}, a \geq -8. \end{cases} \)
Общее решение: \(a \geq \frac{1}{5}\)

6. При каких значениях b множеством решений неравенства \(4x + 6 > \frac{b}{5}\) является числовой промежуток \((3; +\infty)\)?

Выразим x:
\(4x > \frac{b}{5} - 6\)
\(x > \frac{b}{20} - \frac{3}{2}\)
Нам нужно, чтобы \(\frac{b}{20} - \frac{3}{2} = 3\)
\(\frac{b}{20} = \frac{9}{2}\)
\(b = 90\)