11 класс КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО «Интеграл и его применение. Системы ур Вариант 1 №1. Для функции f(x) = 2x²+х найдите первообразную, график которой проходит через точку А(1;1) №2. Вычислите интеграл: a) j [(x³-3x² + 2) dx /4 6) [ cos 2x dx 9 4x 1.5 dx B) X π/4 8 г) / Sin² 2x dx №3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) параболой у=(x-1)2, прямыми х=-1 и х= 2 и осьюОх. 4. Решить систему уравнений 2*+2=6 A) 3-2-2-10 B) log3x+logy=3. x-y=-6 √x−y=1. 5. Из города А в город В, расстояние между которыми 120 км, выехали одновременно два велосипедиста. Скорость первого на 3 км/ч больше скорости второго, поэтому он прибыл в город В на 2 ч раньше. Определите скорости велосипедистов.

№1

Для функции \(f(x) = 2x^2 + x\) найдем первообразную, график которой проходит через точку \(A(1;1)\).

• Найдем общий вид первообразной функции \(f(x)\):

\[F(x) = \int (2x^2 + x) dx = \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + C\]

• Используем условие, что график первообразной проходит через точку \(A(1;1)\), то есть \(F(1) = 1\):

\[1 = \frac{2}{3}(1)^3 + \frac{1}{2}(1)^2 + C\] \[1 = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} + C\] \[C = 1 - \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{6 - 4 - 3}{6} = -\frac{1}{6}\]

• Таким образом, искомая первообразная:

\[F(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{6}\]

№2. Вычислите интегралы:

a)

• Вычислим интеграл:

\[\int_{-1}^{1} (x^3 - 3x^2 + 2) dx\] \[= \left[\frac{x^4}{4} - x^3 + 2x\right]_{-1}^{1}\] \[= \left(\frac{1^4}{4} - 1^3 + 2(1)\right) - \left(\frac{(-1)^4}{4} - (-1)^3 + 2(-1)\right)\] \[= \left(\frac{1}{4} - 1 + 2\right) - \left(\frac{1}{4} + 1 - 2\right)\] \[= \frac{1}{4} + 1 - \frac{1}{4} + 1\] \[= 2\]

б)

• Вычислим интеграл:

\[\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos(2x) dx\] \[= \left[\frac{1}{2}\sin(2x)\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}\] \[= \frac{1}{2}\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) - \frac{1}{2}\sin(0)\] \[= \frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - 0\] \[= \frac{1}{2} \cdot 1\] \[= \frac{1}{2}\]

в)

• Вычислим интеграл:

\[\int_{1}^{9} \frac{4x}{x^{1.5}} dx = 4 \int_{1}^{9} x^{-0.5} dx\] \[= 4 \left[\frac{x^{0.5}}{0.5}\right]_{1}^{9}\] \[= 8 \left[\sqrt{x}\right]_{1}^{9}\] \[= 8(\sqrt{9} - \sqrt{1})\] \[= 8(3 - 1)\] \[= 8 \cdot 2 = 16\]

г)

• Вычислим интеграл:

\[\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{8}{\sin^2(2x)} dx = 8 \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \csc^2(2x) dx\] \[= 8 \left[-\frac{1}{2}\cot(2x)\right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\] \[= -4 \left[\cot(2x)\right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\] \[= -4 \left(\cot\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) - \cot\left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right)\right)\] \[= -4 \left(\cot\left(\frac{\pi}{2}\right) - \cot\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)\] \[= -4 \left(0 - \frac{\sqrt{3}}{3}\right)\] \[= \frac{4\sqrt{3}}{3}\]

№3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а)

Параболой \(y = (x-1)^2\), прямыми \(x = -1\), \(x = 2\) и осью \(Ox\).

• Площадь фигуры можно найти как интеграл от функции \(y = (x-1)^2\) в пределах от \(-1\) до \(2\):

\[S = \int_{-1}^{2} (x-1)^2 dx\] \[= \int_{-1}^{2} (x^2 - 2x + 1) dx\] \[= \left[\frac{x^3}{3} - x^2 + x\right]_{-1}^{2}\] \[= \left(\frac{2^3}{3} - 2^2 + 2\right) - \left(\frac{(-1)^3}{3} - (-1)^2 + (-1)\right)\] \[= \left(\frac{8}{3} - 4 + 2\right) - \left(-\frac{1}{3} - 1 - 1\right)\] \[= \frac{8}{3} - 2 + \frac{1}{3} + 2\] \[= \frac{9}{3} = 3\]

4. Решить систему уравнений

A)

• Решим систему уравнений:

\[ \begin{cases} 2^x + 2^y = 6 \\ 3 \cdot 2^x - 2^y = 10 \end{cases} \]

• Сложим уравнения:

\[2^x + 2^y + 3 \cdot 2^x - 2^y = 6 + 10\] \[4 \cdot 2^x = 16\] \[2^x = 4\] \[x = 2\]

• Подставим \(x = 2\) в первое уравнение:

\[2^2 + 2^y = 6\] \[4 + 2^y = 6\] \[2^y = 2\] \[y = 1\]

Б)

• Решим систему уравнений:

\[ \begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1 \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 19 \end{cases} \]

• Сложим уравнения:

\[\sqrt{x} - \sqrt{y} + \sqrt{x} + \sqrt{y} = 1 + 19\] \[2\sqrt{x} = 20\] \[\sqrt{x} = 10\] \[x = 100\]

• Подставим \(x = 100\) в первое уравнение:

\[\sqrt{100} - \sqrt{y} = 1\] \[10 - \sqrt{y} = 1\] \[\sqrt{y} = 9\] \[y = 81\]

B)

• Решим систему уравнений:

\[ \begin{cases} \log_3{x} + \log_3{y} = 3 \\ x - y = -6 \end{cases} \]

• Из первого уравнения:

\[\log_3{xy} = 3\] \[xy = 3^3 = 27\]

• Из второго уравнения:

\[x = y - 6\]

• Подставим \(x\) во первое уравнение:

\[(y - 6)y = 27\] \[y^2 - 6y - 27 = 0\]

• Решим квадратное уравнение:

\[D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144\] \[y_1 = \frac{6 + \sqrt{144}}{2} = \frac{6 + 12}{2} = 9\] \[y_2 = \frac{6 - \sqrt{144}}{2} = \frac{6 - 12}{2} = -3\]

• Так как логарифм определен только для положительных чисел, \(y = 9\). Тогда:

\[x = y - 6 = 9 - 6 = 3\]

№5. Задача про велосипедистов:

Из города А в город В, расстояние между которыми 120 км, выехали одновременно два велосипедиста. Скорость первого на 3 км/ч больше скорости второго, поэтому он прибыл в город В на 2 ч раньше. Определите скорости велосипедистов.

• Пусть \(v\) - скорость второго велосипедиста (км/ч), тогда скорость первого велосипедиста \(v + 3\) (км/ч).
• Время, которое второй велосипедист потратил на путь из А в В: \(t_2 = \frac{120}{v}\).
• Время, которое первый велосипедист потратил на путь из А в В: \(t_1 = \frac{120}{v + 3}\).
• По условию задачи, первый велосипедист прибыл на 2 часа раньше второго:

\[t_2 - t_1 = 2\] \[\frac{120}{v} - \frac{120}{v + 3} = 2\]

• Решим уравнение:

\[120(v + 3) - 120v = 2v(v + 3)\] \[120v + 360 - 120v = 2v^2 + 6v\] \[2v^2 + 6v - 360 = 0\] \[v^2 + 3v - 180 = 0\]

• Найдем дискриминант:

\[D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 9 + 720 = 729\] \[v_1 = \frac{-3 + \sqrt{729}}{2} = \frac{-3 + 27}{2} = \frac{24}{2} = 12\] \[v_2 = \frac{-3 - \sqrt{729}}{2} = \frac{-3 - 27}{2} = -15\]

• Скорость не может быть отрицательной, поэтому скорость второго велосипедиста \(v = 12\) км/ч.
• Тогда скорость первого велосипедиста \(v + 3 = 12 + 3 = 15\) км/ч.

Ответ: Скорость первого велосипедиста 15 км/ч, скорость второго велосипедиста 12 км/ч.