11 класс КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО Т «Интеграл и его применение. Системы уран Вариант 1 №1. Для функции f(x) = 2x²+х найдите первообразную, график которой проходит через точку А(1;1) №2. Вычислите интеграл: a) (x³-3x² /4 x² + 2) dx 6) [ cos2x dx 4x 1.5 dx B) X π/4 8 dx г) / Sin² 2x a 6) B) г) №3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) параболой у=(x-1)2, прямыми х=-1 и х= 2 и осьюОх. 4. Решить систему уравнений 2+2=6 A) 3.2*-2=10 { M 0 a) x= 4 A √x−y=1. Б) √x+√y=19 { { lo x-y=-6 5. Из города А в город В, расстояние между которыми 120 км, выехали одновременно два велосипедиста. Скорость первого на 3 км/ч больше скорости второго, поэтому он прибыл в город В на 2 ч раньше. Определите скорости велосипедистов. B 5. те за че те Ск

Ответ: Решения ниже

№1. Для функции f(x) = 2x² + x найдите первообразную, график которой проходит через точку A(1;1)

• Шаг 1: Находим общий вид первообразной функции f(x).
Первообразная F(x) = ∫ (2x² + x) dx = (2/3)x³ + (1/2)x² + C
• Шаг 2: Используем точку A(1;1) для определения константы C.
1 = (2/3)(1)³ + (1/2)(1)² + C 1 = 2/3 + 1/2 + C 1 = 4/6 + 3/6 + C 1 = 7/6 + C C = 1 - 7/6 C = -1/6
• Шаг 3: Записываем окончательный вид первообразной.
F(x) = (2/3)x³ + (1/2)x² - 1/6

Ответ: F(x) = \(\frac{2}{3}\)x³ + \(\frac{1}{2}\)x² - \(\frac{1}{6}\)

№2. Вычислите интеграл:

a) ∫(x³ - 3x² + 2) dx от -1 до 1

• Шаг 1: Находим неопределенный интеграл.
∫(x³ - 3x² + 2) dx = (1/4)x⁴ - x³ + 2x + C
• Шаг 2: Вычисляем определенный интеграл в пределах от -1 до 1.
[(1/4)(1)⁴ - (1)³ + 2(1)] - [(1/4)(-1)⁴ - (-1)³ + 2(-1)] [1/4 - 1 + 2] - [1/4 + 1 - 2] [1/4 + 1] - [1/4 - 1] 5/4 - (-3/4) 5/4 + 3/4 = 8/4 = 2

Ответ: 2

б) ∫ cos(2x) dx от 0 до π/4

• Шаг 1: Находим неопределенный интеграл.
∫ cos(2x) dx = (1/2)sin(2x) + C
• Шаг 2: Вычисляем определенный интеграл в пределах от 0 до π/4.
[(1/2)sin(2 * π/4)] - [(1/2)sin(2 * 0)] (1/2)sin(π/2) - (1/2)sin(0) (1/2)(1) - (1/2)(0) 1/2 - 0 = 1/2

Ответ: 1/2

в) ∫ (4x / x^1.5) dx от 1 до 9

• Шаг 1: Упрощаем подынтегральное выражение.
4x / x^1.5 = 4x^(-0.5)
• Шаг 2: Находим неопределенный интеграл.
∫ 4x^(-0.5) dx = 4 * 2 * x^(0.5) + C = 8√x + C
• Шаг 3: Вычисляем определенный интеграл в пределах от 1 до 9.
[8√9] - [8√1] 8 * 3 - 8 * 1 24 - 8 = 16

Ответ: 16

г) ∫ (8 / sin²(2x)) dx от π/6 до π/4

• Шаг 1: Находим неопределенный интеграл.
∫ (8 / sin²(2x)) dx = ∫ 8 * csc²(2x) dx = -4cot(2x) + C
• Шаг 2: Вычисляем определенный интеграл в пределах от π/6 до π/4.
[-4cot(2 * π/4)] - [-4cot(2 * π/6)] -4cot(π/2) - [-4cot(π/3)] -4 * 0 - [-4 * (1/√3)] 0 + 4/√3 = 4/√3 = (4√3) / 3

Ответ: (4√3) / 3

№3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) параболой y = (x - 1)², прямыми x = -1 и x = 2 и осью Ox.

• Шаг 1: Находим интеграл функции y = (x - 1)² в пределах от -1 до 2.
∫ (x - 1)² dx = ∫ (x² - 2x + 1) dx = (1/3)x³ - x² + x + C
• Шаг 2: Вычисляем определенный интеграл в пределах от -1 до 2.
[(1/3)(2)³ - (2)² + 2] - [(1/3)(-1)³ - (-1)² + (-1)] [8/3 - 4 + 2] - [-1/3 - 1 - 1] [8/3 - 2] - [-1/3 - 2] [2/3] - [-7/3] 2/3 + 7/3 = 9/3 = 3

Ответ: 3

4. Решить систему уравнений

А)

\[\begin{cases} 2^x + 2^y = 6 \\ 3 \cdot 2^x - 2^y = 10 \end{cases}\]

• Шаг 1: Сложим уравнения системы.
(2^x + 2^y) + (3 \cdot 2^x - 2^y) = 6 + 10 4 \cdot 2^x = 16
• Шаг 2: Найдём 2^x.
2^x = 4
• Шаг 3: Найдём x.
x = 2
• Шаг 4: Подставим x в первое уравнение системы.
2^2 + 2^y = 6 4 + 2^y = 6
• Шаг 5: Найдём 2^y.
2^y = 2
• Шаг 6: Найдём y.
y = 1

Ответ: x = 2, y = 1

Б)

\[\begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1 \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 19 \end{cases}\]

• Шаг 1: Сложим уравнения системы.
(\sqrt{x} - \sqrt{y}) + (\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 1 + 19 2 \cdot \sqrt{x} = 20
• Шаг 2: Найдём \(\sqrt{x}\).
\sqrt{x} = 10
• Шаг 3: Найдём x.
x = 100
• Шаг 4: Подставим x во второе уравнение системы.
\sqrt{100} + \sqrt{y} = 19 10 + \sqrt{y} = 19
• Шаг 5: Найдём \(\sqrt{y}\).
\sqrt{y} = 9
• Шаг 6: Найдём y.
y = 81

Ответ: x = 100, y = 81

В)

\[\begin{cases} \log_3{x} + \log_3{y} = 3 \\ x - y = -6 \end{cases}\]

• Шаг 1: Преобразуем первое уравнение системы.
\log_3{x} + \log_3{y} = \log_3{xy} = 3 xy = 3^3 = 27
• Шаг 2: Выразим x из второго уравнения системы.
x = y - 6
• Шаг 3: Подставим x в первое уравнение системы.
(y - 6)y = 27 y^2 - 6y - 27 = 0
• Шаг 4: Решим квадратное уравнение.
D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144 y_1 = (6 + \sqrt{144}) / 2 = (6 + 12) / 2 = 9 y_2 = (6 - \sqrt{144}) / 2 = (6 - 12) / 2 = -3 (не подходит, т.к. логарифм от отрицательного числа не существует)
• Шаг 5: Найдём x.
x = y - 6 = 9 - 6 = 3

Ответ: x = 3, y = 9

5. Из города А в город В, расстояние между которыми 120 км, выехали одновременно два велосипедиста. Скорость первого на 3 км/ч больше скорости второго, поэтому он прибыл в город В на 2 ч раньше. Определите скорости велосипедистов.

• Шаг 1: Обозначим скорость первого велосипедиста как v, тогда скорость второго v - 3.
• Шаг 2: Запишем время в пути для каждого велосипедиста:
t_1 = 120/v t_2 = 120/(v - 3)
• Шаг 3: Составим уравнение, используя условие, что первый прибыл на 2 часа раньше.
120/(v - 3) - 120/v = 2
• Шаг 4: Решим уравнение.
120v - 120(v - 3) = 2v(v - 3) 120v - 120v + 360 = 2v^2 - 6v 2v^2 - 6v - 360 = 0 v^2 - 3v - 180 = 0
• Шаг 5: Найдем дискриминант и корни квадратного уравнения.
D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 9 + 720 = 729 v_1 = (3 + \sqrt{729}) / 2 = (3 + 27) / 2 = 15 v_2 = (3 - \sqrt{729}) / 2 = (3 - 27) / 2 = -12 (не подходит, так как скорость не может быть отрицательной)
• Шаг 6: Найдем скорость второго велосипедиста.
v - 3 = 15 - 3 = 12

Ответ: Скорость первого велосипедиста - 15 км/ч, скорость второго - 12 км/ч.

Ответ: Решения выше