7 класс К-3, В-2 1. Отрезки РN и ED пересекаются в их середине М. Докажите, что EN || PD. 2. Отрезок DM – биссектриса треугольника ADC. Через точку М проведена прямая, параллельная стороне CD и пересекающая сторону DA в точке N. Найдите углы треугольника DMN, если ∠ADC = 72°. B

Ответ: Решение в процессе.

Задача 1

Отрезки PN и ED пересекаются в их середине M. Докажите, что EN || PD.

Решение:

• Так как M - середина PN и ED, то PM = MN и EM = MD.
• Рассмотрим треугольники EMN и DMP. У них:
• EM = MD (по условию)
• PM = MN (по условию)
• ∠EMN = ∠DMP (как вертикальные)
• Следовательно, треугольники EMN и DMP равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
• Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠MEN = ∠MDP.
• Углы MEN и MDP - накрест лежащие углы при прямых EN и PD и секущей ED.
• Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, EN || PD.

Ответ: EN || PD доказано.

Задача 2

Отрезок DM – биссектриса треугольника ADC. Через точку M проведена прямая, параллельная стороне CD и пересекающая сторону DA в точке N. Найдите углы треугольника DMN, если ∠ADC = 72°.

Решение:

• Так как DM - биссектриса угла ADC, то ∠ADM = ∠MDC = 72° / 2 = 36°.
• Так как MN || CD, то ∠DMN = ∠MDC как накрест лежащие углы. Следовательно, ∠DMN = 36°.
• Так как MN || CD, то ∠DNM = ∠ADC = 72° как соответственные углы.
• Теперь найдем ∠MDN в треугольнике DMN: ∠MDN = 180° - ∠DMN - ∠DNM = 180° - 36° - 72° = 72°.
• Углы треугольника DMN: ∠DMN = 36°, ∠DNM = 72°, ∠MDN = 72°.

Ответ: ∠DMN = 36°, ∠DNM = 72°, ∠MDN = 72°.

Ответ: ∠DMN = 36°, ∠DNM = 72°, ∠MDN = 72°. EN || PD доказано.