7 класс C-15, B-2 1. Один из острых углов прямоугольного треугольника в 2 раза меньше другого, а разность гипотенузы и мень- шего катета равна 15 см. Найдите гипотенузу и меньший катет. 2. Из точки К биссектрисы острого угла проведены перпендикуляры КР и KF к сторонам угла. Докажите, что KP = KF.

Краткое пояснение:

1. Пусть один острый угол равен \( x \), тогда другой равен \( 2x \). Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусов.
   Составим уравнение: \[ x + 2x = 90 \] \[ 3x = 90 \] \[ x = 30 \] Значит, один угол равен 30°, а другой 60°.
2. Пусть \( a \) - меньший катет (против угла 30°), а \( c \) - гипотенуза. По условию, \( c - a = 15 \). Также мы знаем, что катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, то есть \( a = \frac{1}{2}c \).
3. Подставим это значение в первое уравнение: \[ c - \frac{1}{2}c = 15 \] \[ \frac{1}{2}c = 15 \] \[ c = 30 \] Гипотенуза равна 30 см.
4. Теперь найдем меньший катет: \[ a = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15 \] Меньший катет равен 15 см.

Краткое пояснение:

Рассмотрим треугольники, образованные перпендикулярами KP и KF к сторонам угла, и точкой K на биссектрисе.

1. Треугольники \(\triangle KOP\) и \(\triangle KOF\) прямоугольные, так как KP и KF - перпендикуляры.
2. OK - общая сторона.
3. \(\angle POK = \angle FOK\), так как OK - биссектриса угла.
4. Следовательно, \(\triangle KOP = \triangle KOF\) по гипотенузе и острому углу.
5. Из равенства треугольников следует, что KP = KF.