7 класс 1. На рисунке LABE = 104°, ∠DCF = 76°, АС = 12 см. Найдите сторону АВ треугольника АВС. 2. В треугольнике CDE точка К лежит на стороне СЕ, причём угол CKD острый. Докажите, что DE > DK. 3. Периметр равнобедренного тупоугольного треугольника равен 45 см, а одна из его сторон больше другой на 9 см. Найдите стороны этого треугольника.

1. Рассмотрим треугольник ABC. Угол LABE является внешним углом треугольника ABC при вершине B, поэтому ∠ABC = 180° - ∠LABE = 180° - 104° = 76°. Аналогично, угол DCF является внешним углом треугольника ABC при вершине C, поэтому ∠ACB = 180° - ∠DCF = 180° - 76° = 104°. Тогда ∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠ACB = 180° - 76° - 104° = 0°, что невозможно. Вероятно, в условии есть опечатка. Если ∠DCF = 104°, тогда ∠ACB = 180° - 104° = 76°. В этом случае треугольник ABC равнобедренный, т.к. ∠ABC = ∠ACB = 76°. Значит, AB = AC = 12 см. 2. В треугольнике CDE точка K лежит на стороне CE, причём угол CKD острый. Нужно доказать, что DE > DK. Рассмотрим треугольник CDK. Т.к. угол CKD острый, то угол DKE, смежный с ним, будет тупым (или прямым). В треугольнике DKE угол DKE – тупой. Против большего угла лежит большая сторона, значит, DE > DK. 3. Периметр равнобедренного тупоугольного треугольника равен 45 см, а одна из его сторон больше другой на 9 см. Найдите стороны этого треугольника. Пусть x - длина боковой стороны, y - длина основания. Рассмотрим два случая: а) Боковая сторона больше основания на 9 см. Тогда x = y + 9. Периметр: 2x + y = 45. Подставим x = y + 9: 2(y + 9) + y = 45. 2y + 18 + y = 45. 3y = 27. y = 9 см. x = 9 + 9 = 18 см. Стороны треугольника: 18 см, 18 см, 9 см. Проверим, может ли треугольник быть тупоугольным. Для этого выполним неравенство: $$18^2 + 9^2 < 18^2$$. $$324 + 81 < 324$$. Это неверно. Значит, треугольник не тупоугольный. б) Основание больше боковой стороны на 9 см. Тогда y = x + 9. Периметр: 2x + y = 45. Подставим y = x + 9: 2x + (x + 9) = 45. 3x + 9 = 45. 3x = 36. x = 12 см. y = 12 + 9 = 21 см. Стороны треугольника: 12 см, 12 см, 21 см. Проверим, может ли треугольник быть тупоугольным. Для этого выполним неравенство: $$12^2 + 12^2 < 21^2$$. $$144 + 144 < 441$$. $$288 < 441$$. Это верно. Значит, треугольник может быть тупоугольным. Ответ: стороны треугольника равны 12 см, 12 см, 21 см.