8 класс алгебра Контрольная работа за 3 четверть 1 вариант 1 Решите уравнения. a) x² - 8x + 12 = 0 6) 3x² + 7x + 2 = 0; в) (2x - 1)(2x + 1)(x - 3)(x + 1) = 18 16 30 г) += 3. x-3 1-x 2. Разложите на множители квадратный трёхчлен -x² + 16x - 15. 3. Сократите дробь. 3a²+7a-6 a2-9 4. Решите задачу, составив уравнение. Одна из сторон прямоугольника на 7 см больше другой, а площадь равна 44 см². Найдите периметр прямоугольника. 5. Решить уравнение графическим способом. x2= 3x + 2

1 вариант

1. Решите уравнения.

a) x² - 8x + 12 = 0

\[D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16\] \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 4}{2} = 6\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 4}{2} = 2\]

Ответ: x₁ = 6, x₂ = 2

б) 3x² + 7x + 2 = 0

\[D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25\] \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 5}{6} = -\frac{1}{3}\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 5}{6} = -2\]

Ответ: x₁ = -1/3, x₂ = -2

в) (2x - 1)(2x + 1)(x - 3)(x + 1) = 18

\[(4x^2 - 1)(x^2 - 2x - 3) = 18\] \[4x^4 - 8x^3 - 12x^2 - x^2 + 2x + 3 - 18 = 0\] \[4x^4 - 8x^3 - 13x^2 + 2x - 15 = 0\]

Это уравнение четвертой степени, и его решение в общем виде довольно сложно. Можно попытаться найти рациональные корни, но это выходит за рамки обычной школьной программы. Решение можно найти численными методами или с использованием специализированного программного обеспечения.

Ответ: Решение требует численных методов.

г) 16/(x-3) + 30/(1-x) = 3

\[\frac{16}{x-3} - \frac{30}{x-1} = 3\] \[\frac{16(x-1) - 30(x-3)}{(x-3)(x-1)} = 3\] \[16x - 16 - 30x + 90 = 3(x^2 - 4x + 3)\] \[-14x + 74 = 3x^2 - 12x + 9\] \[3x^2 + 2x - 65 = 0\] \[D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-65) = 4 + 780 = 784 = 28^2\] \[x_1 = \frac{-2 + 28}{6} = \frac{26}{6} = \frac{13}{3}\] \[x_2 = \frac{-2 - 28}{6} = \frac{-30}{6} = -5\]

Ответ: x₁ = 13/3, x₂ = -5

2. Разложите на множители квадратный трёхчлен

-x² + 16x - 15

\[-x^2 + 16x - 15 = -(x^2 - 16x + 15)\] \[D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 256 - 60 = 196 = 14^2\] \[x_1 = \frac{16 + 14}{2} = 15\] \[x_2 = \frac{16 - 14}{2} = 1\] \[-(x - 15)(x - 1)\]

Ответ: -(x - 15)(x - 1)

3. Сократите дробь.

(3a²+7a-6) / (a²-9)

\[3a^2 + 7a - 6\] \[D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121 = 11^2\] \[a_1 = \frac{-7 + 11}{6} = \frac{2}{3}\] \[a_2 = \frac{-7 - 11}{6} = -3\] \[3(a - \frac{2}{3})(a + 3) = (3a - 2)(a + 3)\] \[a^2 - 9 = (a - 3)(a + 3)\] \[\frac{(3a - 2)(a + 3)}{(a - 3)(a + 3)} = \frac{3a - 2}{a - 3}\]

Ответ: (3a - 2) / (a - 3)

4. Решите задачу, составив уравнение.

Пусть одна сторона прямоугольника x см, тогда другая сторона x + 7 см.

Площадь прямоугольника равна 44 см².

\[x(x + 7) = 44\] \[x^2 + 7x - 44 = 0\] \[D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-44) = 49 + 176 = 225 = 15^2\] \[x_1 = \frac{-7 + 15}{2} = 4\] \[x_2 = \frac{-7 - 15}{2} = -11\]

Так как длина стороны не может быть отрицательной, то x = 4 см.

Тогда другая сторона равна 4 + 7 = 11 см.

Периметр прямоугольника равен 2(4 + 11) = 30 см.

Ответ: Периметр прямоугольника равен 30 см.

5. Решить уравнение графическим способом.

x² = 3x + 2

Построим графики функций y = x² и y = 3x + 2.

Точки пересечения графиков: (-0.56, 0.31) и (3.56, 12.69)

Ответ: x₁ = -0.56, x₂ = 3.56 (приблизительно)