18. Катя загадала четырёхзначное число. Из загаданного числа она вычла сумму его цифр, у полученной разности зачеркнула одну цифру и получила число 235. Какую цифру зачеркнула Катя? Запишите решение и ответ.

Ответ: 4

Решение:

• Пусть x - это четырехзначное число, которое задумала Катя.
• Пусть S(x) - это сумма цифр этого числа.
• После вычитания суммы цифр из числа, получается разность: x - S(x).
• По условию, эта разность после зачеркивания одной цифры дает число 235.
• Так как разность x - S(x) получается после вычитания суммы цифр из числа, она обязательно делится на 9 (так как разность числа и суммы его цифр всегда кратна 9).

Рассмотрим возможные варианты восстановления числа, чтобы оно делилось на 9:

• Если зачеркнута первая цифра: Тогда число имеет вид a235. Чтобы число делилось на 9, сумма его цифр должна делиться на 9. То есть, a + 2 + 3 + 5 должно быть кратно 9, или a + 10 должно быть кратно 9. Возможные значения a: 8 (8 + 10 = 18). Получается число 8235.
• Если зачеркнута вторая цифра: Тогда число имеет вид 2b35. Сумма цифр должна быть кратна 9, то есть, 2 + b + 3 + 5 должно быть кратно 9, или b + 10 должно быть кратно 9. Возможные значения b: 8 (8 + 10 = 18). Получается число 2835.
• Если зачеркнута третья цифра: Тогда число имеет вид 23c5. Сумма цифр должна быть кратна 9, то есть, 2 + 3 + c + 5 должно быть кратно 9, или c + 10 должно быть кратно 9. Возможные значения c: 8 (8 + 10 = 18). Получается число 2385.
• Если зачеркнута последняя цифра: Тогда число имеет вид 235d. Сумма цифр должна быть кратна 9, то есть, 2 + 3 + 5 + d должно быть кратно 9, или d + 10 должно быть кратно 9. Возможные значения d: 8 (8 + 10 = 18). Получается число 2358.

Теперь рассмотрим каждый из вариантов и проверим, существует ли такое четырехзначное число, чтобы выполнялись условия задачи:

• Вариант 1: Зачеркнута первая цифра, число 8235.
  • Сумма цифр числа 8235: 8 + 2 + 3 + 5 = 18
  • Разность: 8235 - 18 = 8217. Не подходит, так как при зачеркивании цифры не получается 235.
• Вариант 2: Зачеркнута вторая цифра, число 2835.
  • Сумма цифр числа 2835: 2 + 8 + 3 + 5 = 18
  • Разность: 2835 - 18 = 2817. Не подходит, так как при зачеркивании цифры не получается 235.
• Вариант 3: Зачеркнута третья цифра, число 2385.
  • Сумма цифр числа 2385: 2 + 3 + 8 + 5 = 18
  • Разность: 2385 - 18 = 2367. Не подходит, так как при зачеркивании цифры не получается 235.
• Вариант 4: Зачеркнута последняя цифра, число 2358.
  • Сумма цифр числа 2358: 2 + 3 + 5 + 8 = 18
  • Разность: 2358 - 18 = 2340. Зачеркиваем 4, получается 235. Подходит.

В итоге, подходит только последний вариант, где зачеркнута цифра 4.

Ответ: 4