Катя есть попрыгунчик (каучуковый шарик). Она со всей силы бросила его об асфальт. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит попрыгунчик, станет меньше 25 см, если после первого отскока попрыгунчик подлетел на высоту 680 см, а после каждого следующего отскока от асфальта попрыгунчик подлетал на высоту в два раза меньше предыдущей?

Решение:

Это задача на геометрическую прогрессию, где каждый последующий отскок уменьшается в 2 раза.

1. Дано:
   • Высота после 1-го отскока: \( h_1 = 680 \) см
   • Коэффициент уменьшения высоты: \( q = \frac{1}{2} \)
   • Требуемая высота: \( h_n < 25 \) см
2. Найти: Номер отскока \( n \), после которого высота станет меньше 25 см.
3. Решение: Формула высоты после \( n \)-го отскока: \( h_n = h_1 \cdot q^{n-1} \).
4. Подставим известные значения: \( 680 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} < 25 \)
5. Разделим обе части на 680: \( \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} < \frac{25}{680} \)
6. Упростим дробь: \( \frac{25}{680} = \frac{5}{136} \)
7. Тогда: \( \frac{1}{2^{n-1}} < \frac{5}{136} \)
8. Перевернем дробь, изменив знак неравенства: \( 2^{n-1} > \frac{136}{5} \)
9. Вычислим правую часть: \( \frac{136}{5} = 27.2 \)
10. Итого: \( 2^{n-1} > 27.2 \)
11. Теперь подберем значение \( n-1 \), чтобы степень двойки была больше 27.2:
    • \( 2^1 = 2 \)
    • \( 2^2 = 4 \)
    • \( 2^3 = 8 \)
    • \( 2^4 = 16 \)
    • \( 2^5 = 32 \)
12. Значит, \( n-1 = 5 \).
13. Найдем \( n \): \( n = 5 + 1 = 6 \).
14. Проверим:
    • \( h_1 = 680 \) см
    • \( h_2 = 680 / 2 = 340 \) см
    • \( h_3 = 340 / 2 = 170 \) см
    • \( h_4 = 170 / 2 = 85 \) см
    • \( h_5 = 85 / 2 = 42.5 \) см
    • \( h_6 = 42.5 / 2 = 21.25 \) см
15. Высота 21.25 см меньше 25 см.

Ответ: 6.