Кати есть попрыгунчик (каучуковый шарик). Она со всей силы бросила его 5 асфальт. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит опрыгунчик, станет меньше 10 см, если после первого отскока попрыгунчик одлетел на высоту 440 см, а после каждого следующего отскока от асфальта опрыгунчик подлетал на высоту в два раза меньше предыдущей?

Решение:

Эта задача описывает геометрическую прогрессию, где каждый последующий член (высота отскока) в два раза меньше предыдущего.

1. Начальная высота: Первый отскок — \( h_1 = 440 \) см.
2. Общий член прогрессии: Высота \( n \)-го отскока выражается формулой \( h_n = h_1 \cdot q^{n-1} \), где \( q = 0.5 \) (так как высота уменьшается в 2 раза).
3. Условие задачи: Нам нужно найти такой номер отскока \( n \), при котором высота \( h_n \) станет меньше \( 10 \) см.
4. Составим неравенство: \( 440 \cdot (0.5)^{n-1} < 10 \)
5. Решим неравенство:
• Разделим обе части на 440: \( (0.5)^{n-1} < \frac{10}{440} \)
• Упростим дробь: \( (0.5)^{n-1} < \frac{1}{44} \)
• Переведем 0.5 в дробь \( \frac{1}{2} \): \( (\frac{1}{2})^{n-1} < \frac{1}{44} \)
• Возведем обе части в степень \( -1 \) и поменяем знак неравенства: \( 2^{n-1} > 44 \)
• Подберём степень двойки, которая больше 44:
• \( 2^1 = 2 \)
• \( 2^2 = 4 \)
• \( 2^3 = 8 \)
• \( 2^4 = 16 \)
• \( 2^5 = 32 \)
• \( 2^6 = 64 \)
• Значит, \( n-1 \) должно быть больше или равно 6. Наименьшее целое значение \( n-1 \) — это 6.
• \( n-1 = 6 \)
• \( n = 7 \)

Проверка:

• \( h_1 = 440 \)
• \( h_2 = 440 \cdot 0.5 = 220 \)
• \( h_3 = 220 \cdot 0.5 = 110 \)
• \( h_4 = 110 \cdot 0.5 = 55 \)
• \( h_5 = 55 \cdot 0.5 = 27.5 \)
• \( h_6 = 27.5 \cdot 0.5 = 13.75 \)
• \( h_7 = 13.75 \cdot 0.5 = 6.875 \)

На 7-м отскоке высота станет меньше 10 см.

Ответ: 7.