1. Катеты прямоугольного треугольника равны 8 и 14 см. Найти длину гипотенузы треугольника. 2. В прямоугольнике стороны равны 10 и 20 см. Найти длину диагонали прямоугольника. 3. В прямоугольном треугольнике катеты равны 4 и 8 см. найти синусы острых углов треугольника.

Ответ: 1) 2\(\sqrt{65}\) см, 2) 10\(\sqrt{5}\) см, 3) \(\frac{\sqrt{5}}{5}\) и \(\frac{2\sqrt{5}}{5}\)

Задача 1

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны \(a = 8\) см и \(b = 14\) см. Нужно найти длину гипотенузы \(c\).

По теореме Пифагора:

\[c^2 = a^2 + b^2\]\[c^2 = 8^2 + 14^2 = 64 + 196 = 260\]\[c = \sqrt{260} = \sqrt{4 \cdot 65} = 2\sqrt{65}\]

Ответ: \(2\sqrt{65}\) см

Задача 2

Пусть стороны прямоугольника равны \(a = 10\) см и \(b = 20\) см. Нужно найти длину диагонали \(d\).

По теореме Пифагора:

\[d^2 = a^2 + b^2\]\[d^2 = 10^2 + 20^2 = 100 + 400 = 500\]\[d = \sqrt{500} = \sqrt{100 \cdot 5} = 10\sqrt{5}\]

Ответ: \(10\sqrt{5}\) см

Задача 3

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны \(a = 4\) см и \(b = 8\) см. Нужно найти синусы острых углов треугольника.

Сначала найдем гипотенузу \(c\) по теореме Пифагора:

\[c^2 = a^2 + b^2\]\[c^2 = 4^2 + 8^2 = 16 + 64 = 80\]\[c = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}\]

Теперь найдем синусы острых углов:

Синус угла \(\alpha\), противолежащего катету \(a\):

\[\sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{4}{4\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}\]

Синус угла \(\beta\), противолежащего катету \(b\):

\[\sin(\beta) = \frac{b}{c} = \frac{8}{4\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}\]

Ответ: Синусы острых углов равны \(\frac{\sqrt{5}}{5}\) и \(\frac{2\sqrt{5}}{5}\)

Ответ: 1) 2\(\sqrt{65}\) см, 2) 10\(\sqrt{5}\) см, 3) \(\frac{\sqrt{5}}{5}\) и \(\frac{2\sqrt{5}}{5}\)