581. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника соответственно равны 8 см и 10 см. Найдите: 1) синус угла, противолежащего меньшему катету; 2) косинус угла, прилежащего к большему катету; 3) тангенс угла, противолежащего меньшему катету; 4) котангенс угла, прилежащего к большему катету. 582. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 см и 2 см. Найдите: 1) тангенс угла, прилежащего к большему катету; 2) синус угла, противолежащего меньшему катету; 3) косинус угла, прилежащего к большему катету; 4) котангенс угла, противолежащего большему катету.

Решение 581

Для начала найдем второй катет по теореме Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

\[a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6\]

1) Синус угла, противолежащего меньшему катету:

\[sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{6}{10} = 0.6\]

2) Косинус угла, прилежащего к большему катету:

\[cos(\beta) = \frac{b}{c} = \frac{8}{10} = 0.8\]

3) Тангенс угла, противолежащего меньшему катету:

\[tan(\alpha) = \frac{a}{b} = \frac{6}{8} = 0.75\]

4) Котангенс угла, прилежащего к большему катету:

\[ctg(\beta) = \frac{b}{a} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \approx 1.33\]

Решение 582

Определим, где больший и меньший катеты: 3 см - больший катет, 2 см - меньший катет.

1) Тангенс угла, прилежащего к большему катету:

Чтобы найти тангенс угла, прилежащего к большему катету, нужно знать второй острый угол в треугольнике. Для этого найдем гипотенузу:

\[c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}\]

\[tg(\beta) = \frac{2}{3} \approx 0.67\]

2) Синус угла, противолежащего меньшему катету:

\[sin(\alpha) = \frac{2}{\sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{13}}{13} \approx 0.55\]

3) Косинус угла, прилежащего к большему катету:

\[cos(\beta) = \frac{3}{\sqrt{13}} = \frac{3\sqrt{13}}{13} \approx 0.83\]

4) Котангенс угла, противолежащего большему катету:

\[ctg(\alpha) = \frac{2}{3} \approx 0.67\]

Проверка за 10 секунд: Убедитесь, что значения тригонометрических функций находятся в пределах допустимых значений (например, синус и косинус не могут быть больше 1).

Доп. профит: Уровень Эксперт: Освоив тригонометрические функции, вы сможете решать сложные задачи в физике, связанные с колебаниями и волнами.