Катер прошел 40 км по течению реки и 6 км против течения, затратив на весь путь 3 ч. Найдите скорость катера в стоячей воде, если известно, что скорость течения равна 2 км/ч.

Решение:

1. Обозначим скорость катера в стоячей воде как \( v \) км/ч.
2. Скорость катера по течению: \( v + 2 \) км/ч.
3. Скорость катера против течения: \( v - 2 \) км/ч.
4. Время движения по течению: \( t_1 = \frac{40}{v + 2} \) ч.
5. Время движения против течения: \( t_2 = \frac{6}{v - 2} \) ч.
6. Общее время в пути: \( t_1 + t_2 = 3 \) ч.
7. Составим уравнение: \( \frac{40}{v + 2} + \frac{6}{v - 2} = 3 \)
8. Умножим обе части уравнения на \( (v + 2)(v - 2) \), чтобы избавиться от знаменателей: \( 40(v - 2) + 6(v + 2) = 3(v + 2)(v - 2) \)
9. Раскроем скобки: \( 40v - 80 + 6v + 12 = 3(v^2 - 4) \)
10. Упростим: \( 46v - 68 = 3v^2 - 12 \)
11. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \( 3v^2 - 46v + 56 = 0 \)
12. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-46)^2 - 4 · 3 · 56 = 2116 - 672 = 1444 \). \( \sqrt{D} = \sqrt{1444} = 38 \).
13. Найдем корни: \( v_1 = \frac{46 + 38}{2 · 3} = \frac{84}{6} = 14 \) км/ч. \( v_2 = \frac{46 - 38}{2 · 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \) км/ч.
14. Скорость катера в стоячей воде не может быть меньше скорости течения, так как в противном случае катер не смог бы двигаться против течения. Поэтому \( v = \frac{4}{3} \) км/ч не подходит.
15. Проверим \( v = 14 \) км/ч: Скорость по течению = \( 14 + 2 = 16 \) км/ч. Время по течению = \( \frac{40}{16} = 2.5 \) ч. Скорость против течения = \( 14 - 2 = 12 \) км/ч. Время против течения = \( \frac{6}{12} = 0.5 \) ч. Общее время = \( 2.5 + 0.5 = 3 \) ч. Это соответствует условию задачи.

Ответ: 14 км/ч.