Катер проплыл по течению реки 23 км, а против течения 51 км, затратив на весь путь 4 часа. Найдите собственную скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч.

Решение:

Обозначим собственную скорость катера как \( x \) км/ч.

Скорость катера по течению: \( x + 3 \) км/ч.

Скорость катера против течения: \( x - 3 \) км/ч.

Время в пути по течению: \( t_1 = \frac{23}{x+3} \) часа.

Время в пути против течения: \( t_2 = \frac{51}{x-3} \) часа.

Общее время в пути: \( t_1 + t_2 = 4 \) часа.

Составим и решим уравнение:

\[ \frac{23}{x+3} + \frac{51}{x-3} = 4 \]\[ \frac{23(x-3) + 51(x+3)}{(x+3)(x-3)} = 4 \]\[ \frac{23x - 69 + 51x + 153}{x^2 - 9} = 4 \]\[ \frac{74x + 84}{x^2 - 9} = 4 \]\[ 74x + 84 = 4(x^2 - 9) \]\[ 74x + 84 = 4x^2 - 36 \]\[ 4x^2 - 74x - 36 - 84 = 0 \]\[ 4x^2 - 74x - 120 = 0 \]\[ 2x^2 - 37x - 60 = 0 \]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-37)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-60) = 1369 + 480 = 1849 \]

\( \sqrt{D} = \sqrt{1849} = 43 \)

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{37 + 43}{2 \cdot 2} = \frac{80}{4} = 20 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{37 - 43}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -1.5 \]

Так как скорость не может быть отрицательной, второй корень нам не подходит.

Ответ: собственная скорость катера равна 20 км/ч.