Катер движется по течению реки в течение времени t = 57 мин. Известно, что скорость катера в стоячей воде составляет v = 17 км/ч, а скорость течения реки – u = 5 км/ч. 1. Рассчитайте, какое расстояние s пройдёт катер. 2. Рассчитайте абсолютную погрешность Δs расстояния, которое пройдёт катер, если считать, что время движения известно с абсолютной погрешностью 1 мин, скорость течения реки имеет абсолютную погрешность 1 км/ч, скорость катера в стоячей воде известна точно. Округлите результаты до десятых долей. Кратко поясните вычисления. 3. Можно ли с учётом погрешностей величин утверждать, что катер преодолеет расстояние в 21 км? Свой ответ обоснуйте.

Решение:

1. 1. Рассчитаем расстояние, которое пройдёт катер.

   Для начала переведём время движения из минут в часы: \( t = 57 \text{ мин} = \frac{57}{60} \text{ ч} = 0.95 \text{ ч} \).

   Скорость катера по течению реки равна сумме скорости катера в стоячей воде и скорости течения реки: \( v_{\text{по теч.}} = v + u = 17 \text{ км/ч} + 5 \text{ км/ч} = 22 \text{ км/ч} \).

   Теперь рассчитаем расстояние по формуле \( s = v_{\text{по теч.}} \cdot t \):

   \[ s = 22 \text{ км/ч} \cdot 0.95 \text{ ч} = 20.9 \text{ км} \]
2. 2. Рассчитаем абсолютную погрешность Δs расстояния.

   Нам дано:

   • \( v = 17 \pm 0 \) км/ч (скорость катера в стоячей воде известна точно).
   • \( u = 5 \pm 1 \) км/ч (скорость течения реки с погрешностью 1 км/ч).
   • \( t = 57 \pm 1 \) мин = \( \frac{57}{60} \pm \frac{1}{60} \) ч = \( 0.95 \pm 0.0167 \) ч (время движения с погрешностью 1 мин).

   Скорость по течению: \( v_{\text{по теч.}} = v + u \). Абсолютная погрешность этой скорости: \( \Delta v_{\text{по теч.}} = \Delta v + \Delta u = 0 + 1 = 1 \) км/ч.

   Теперь найдём абсолютную погрешность расстояния \( \Delta s \) для \( s = v_{\text{по теч.}} \cdot t \) с учётом погрешностей. При перемножении величин абсолютные погрешности складываются, но сначала нужно найти относительные погрешности:

   Относительная погрешность скорости: \( \frac{\Delta v_{\text{по теч.}}}{v_{\text{по теч.}}} = \frac{1}{22} \approx 0.045 \)

   Относительная погрешность времени: \( \frac{\Delta t}{t} = \frac{0.0167}{0.95} \approx 0.0176 \)

   Суммарная относительная погрешность расстояния: \( \frac{\Delta s}{s} = \frac{\Delta v_{\text{по теч.}}}{v_{\text{по теч.}}} + \frac{\Delta t}{t} \approx 0.045 + 0.0176 \approx 0.0626 \)

   Абсолютная погрешность расстояния: \( \Delta s = s \cdot \frac{\Delta s}{s} = 20.9 \text{ км} \cdot 0.0626 \approx 1.31 \text{ км} \).

   Результат округлим до десятых долей: \( \Delta s \approx 1.3 \) км.

   Таким образом, расстояние, которое пройдёт катер, составляет \( s = 20.9 \pm 1.3 \) км.

3. 3. Можно ли утверждать, что катер преодолеет расстояние в 21 км?

   С учётом погрешностей, расстояние, которое может преодолеть катер, находится в интервале от \( 20.9 - 1.3 = 19.6 \) км до \( 20.9 + 1.3 = 22.2 \) км.

   Поскольку нижняя граница этого интервала (19.6 км) меньше 21 км, а верхняя граница (22.2 км) больше 21 км, мы не можем с уверенностью утверждать, что катер преодолеет ровно 21 км. Он может как преодолеть это расстояние, так и не преодолеть его.

Ответ: 1. 20.9 км. 2. 1.3 км. 3. Нет, нельзя утверждать, так как возможное расстояние находится в диапазоне от 19.6 км до 22.2 км.