Применим Протокол Б (Пунктуация).
- Выделим грамматические основы: Каштанка стала обнюхивать тротуар, надеясь найти хозяина.
- Предложение простое, осложнено деепричастным оборотом.
- Выделим деепричастный оборот «надеясь найти хозяина».
- Деепричастный оборот выделяется запятыми с двух сторон.
Предложение целиком: Каштанка стала обнюхивать тротуар, надеясь найти хозяина по запаху его следов (А. Чехов).
Ответ: Каштанка стала обнюхивать тротуар, надеясь найти хозяина по запаху его следов (А. Чехов).