Касательные в точках А и В к окружности с центром в точке О пересекаются под углом 64°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Следовательно, $$OA \perp \text{касательной}$$, $$OB \perp \text{касательной}$$. Значит, углы $$OAB$$ и $$OBA$$ прямые и равны $$90$$ градусов.
2. Сумма углов четырехугольника равна $$360$$ градусов. Рассмотрим четырехугольник, образованный касательными и радиусами. Угол между касательными равен $$64$$ градуса (по условию). Значит, угол $$AOB=360-(90+90+64)=360-244=116$$ градусов.
3. Рассмотрим треугольник $$AOB$$. Он равнобедренный, так как $$OA=OB$$ как радиусы. Значит, углы при основании равны, $$OBA=OAB$$. Сумма углов треугольника равна $$180$$ градусов. Значит, угол $$OAB=\frac{180-116}{2}=\frac{64}{2}=32$$ градуса.

Ответ: 32