Касательные в точках А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 56°. Найдите угол АВО.

Решение:

По условию задачи, касательные к окружности в точках А и В пересекаются под углом \( 56^{\circ} \). Это означает, что угол между касательными \( \angle APB = 56^{\circ} \), где P — точка пересечения касательных.

Известно, что радиусы, проведённые к точкам касания, перпендикулярны касательным. Следовательно, \( \angle OAP = 90^{\circ} \) и \( \angle OBP = 90^{\circ} \).

Рассмотрим четырёхугольник \( OAPB \). Сумма углов четырёхугольника равна \( 360^{\circ} \). Поэтому:

\( \angle AOB + \angle OAP + \angle APB + \angle OBP = 360^{\circ} \)

\( \angle AOB + 90^{\circ} + 56^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ} \)

\( \angle AOB + 236^{\circ} = 360^{\circ} \)

\( \angle AOB = 360^{\circ} - 236^{\circ} = 124^{\circ} \).

Теперь рассмотрим треугольник \( \triangle OAB \). Этот треугольник является равнобедренным, так как \( OA = OB \) (радиусы окружности). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

\( \angle OAB = \angle OBA \)

Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \):

\( \angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^{\circ} \)

\( 124^{\circ} + \angle OBA + \angle OBA = 180^{\circ} \)

\( 124^{\circ} + 2 \angle OBA = 180^{\circ} \)

\( 2 \angle OBA = 180^{\circ} - 124^{\circ} \)

\( 2 \angle OBA = 56^{\circ} \)

\( \angle OBA = \frac{56^{\circ}}{2} = 28^{\circ} \).

Угол \( АВО \) — это тот же угол \( OBA \).

Ответ: \( 28^{\circ} \).