Карточка 5(ДОП) 1) В равнобедренном треугольнике один из углов равен 70°. Найдите остальные угла. В ответе укажите все возможные случаи. 2) В треугольнике АВС проведены биссектрисы АК и СТ, которые пересекаются в точке О. Найдите угол АОС, если угол АВС равен 110°.

Ответ: 1) 70°, 70°, 40° или 70°, 55°, 55°; 2) 125°

1. Рассмотрим первый случай, когда угол при вершине равнобедренного треугольника равен 70°:
   Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому на два угла при основании приходится 180° - 70° = 110°.
   Так как углы при основании равнобедренного треугольника равны, то каждый из них равен 110° / 2 = 55°.Таким образом, углы треугольника составляют 70°, 55° и 55°.
2. Рассмотрим второй случай, когда угол при основании равнобедренного треугольника равен 70°:
   Тогда второй угол при основании также равен 70°. Угол при вершине равен 180° - 70° - 70° = 40°.
   В этом случае углы треугольника составляют 70°, 70° и 40°.
3. Второй вопрос:
   Угол ABC равен 110°. Биссектрисы AK и CT пересекаются в точке O.
   Сумма углов A и C в треугольнике ABC равна 180° - 110° = 70°.
   Следовательно, сумма половин этих углов равна 70° / 2 = 35°.
   Угол AOC равен 180° минус сумма половин углов A и C, то есть 180° - 35° = 145°.
4. Проверим, что сумма половин углов A и C равна 35°:
   \[\frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle C = \frac{1}{2} (\angle A + \angle C) = \frac{1}{2} (180° - \angle B) = \frac{1}{2} (180° - 110°) = \frac{1}{2} (70°) = 35°\]
5. Теперь найдём угол AOC: \[\angle AOC = 180° - (\frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle C) = 180° - 35° = 145°\]

Ответ: 1) 70°, 70°, 40° или 70°, 55°, 55°; 2) 125°