Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полёта камня описывается законом y = ax2 + bx, где a = −1/100 м-1, b = 1 – постоянные параметры, х (м) – смещение камня по горизонтали, у (м) – высота камня над землёй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 7 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 2 метров?

Пошаговое решение:

1. Определим уравнение траектории камня, используя заданные параметры:

   \[y = -\frac{1}{100}x^2 + x\]

2. Пусть x – расстояние от машины до стены. Тогда высота камня над стеной должна быть не менее 2 метров, когда высота стены 7 метров. Значит, общая высота камня должна быть не менее 9 метров:

   \[y \ge 9\]

3. Подставим значение y в уравнение траектории и решим неравенство:

   \[-\frac{1}{100}x^2 + x \ge 9\] \[-\frac{1}{100}x^2 + x - 9 \ge 0\] \[-x^2 + 100x - 900 \ge 0\] \[x^2 - 100x + 900 \le 0\]

4. Решим квадратное уравнение:

   \[x^2 - 100x + 900 = 0\] \[D = (-100)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 900 = 10000 - 3600 = 6400\] \[x_1 = \frac{-(-100) + \sqrt{6400}}{2 \cdot 1} = \frac{100 + 80}{2} = \frac{180}{2} = 90\] \[x_2 = \frac{-(-100) - \sqrt{6400}}{2 \cdot 1} = \frac{100 - 80}{2} = \frac{20}{2} = 10\]

5. Так как нам нужно наибольшее расстояние, выбираем большее значение x:

   \[x = 90 \text{ м}\]

Ответ: 90