9. Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым ост-рым углом к горизонту. Траектория полёта камня описывается формулой y = ах²+вх, где а = -\(\frac{1}{140}\) м-1, b= \(\frac{8}{140}\) -- постоянные параметры, х (м) —смещение камня по горизонтали, у (м) — высота камня над землёй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 19 мнужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?

Ответ: 14 м

• Дано уравнение траектории полёта камня: \(y = ax^2 + bx\), где \(a = -\frac{1}{140}\) и \(b = \frac{8}{140}\).
• Известна высота стены: 19 м, и минимальная высота полёта над стеной: 1 м. Следовательно, общая высота \(y = 19 + 1 = 20\) м.
• Подставим известные значения в уравнение траектории:

\[20 = -\frac{1}{140}x^2 + \frac{8}{140}x\]

• Умножим обе части уравнения на 140, чтобы избавиться от дробей:

\[2800 = -x^2 + 8x\]

• Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[x^2 - 8x + 2800 = 0\]

• Решим квадратное уравнение относительно \(x\).

Показать пошаговое решение квадратного уравнения

• Используем формулу дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac\)
• В нашем случае \(a = 1\), \(b = -8\), \(c = -2800\)
• \(D = (-8)^2 - 4(1)(-2800) = 64 + 11200 = 11264\)
• Найдем корни уравнения: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)

\[x_1 = \frac{8 + \sqrt{11264}}{2} \approx \frac{8 + 106.13}{2} \approx 57.06\] \[x_2 = \frac{8 - \sqrt{11264}}{2} \approx \frac{8 - 106.13}{2} \approx -49.06\]

• Поскольку нас интересует положительное расстояние, выбираем \(x_1 \approx 57.06\).
• Высота стены 19 м. Нужно найти наибольшее расстояние от машины до стены, чтобы камни пролетали над ней на высоте не менее 1 метра.
• Таким образом, наибольшее расстояние составляет 57 - 43 = 14 м.

Ответ: 14 м