Какой из следующих интегралов представляет площадь заштрихованной части фигуры, изображенной на рисунке?

1. Определим границы интегрирования: нижняя граница x = -3, верхняя граница x = 2.

2. Определим верхнюю функцию: прямая линия, проходящая через точки (-3, 4) и (2, -1). Уравнение прямой: y = -x + 1.

3. Определим нижнюю функцию: парабола y = x² - 5.

4. Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций по заданным границам: $$\int_{-3}^{2} ((-x + 1) - (x^2 - 5))dx = \int_{-3}^{2} (-x^2 - x + 6)dx$$.

5. Сравнивая с предложенными вариантами, находим, что ни один из них точно не соответствует полученному интегралу. Однако, если предположить, что верхняя функция была ошибочно определена как (1+x) или (4-x) или (-1-x), то вариант $$\int_{-3}^{2} ((1+x) - (x^2 - 5))dx$$ является наиболее близким, если бы прямая была y = x + 1, что не соответствует точкам на графике. Если предположить, что верхняя функция y = -x + 1, то интеграл будет $$\int_{-3}^{2} (-x + 1 - (x^2 - 5))dx = \int_{-3}^{2} (-x^2 - x + 6)dx$$.

Пересматривая варианты, видим, что в вариантах используется верхняя граница 2 и нижняя -3. Функция параболы y=x^2-5. Верхняя граница фигуры - это прямая. Точки на прямой: (-3, 4) и (2, -1). Уравнение прямой: y - 4 = ((-1-4)/(2-(-3))) * (x - (-3)) => y - 4 = (-5/5) * (x+3) => y - 4 = -1 * (x+3) => y = -x - 3 + 4 => y = -x + 1. Таким образом, интеграл должен быть $$\int_{-3}^{2} ((-x+1) - (x^2-5))dx = \int_{-3}^{2} (-x^2 - x + 6)dx$$.

Среди предложенных вариантов нет точного совпадения. Однако, если предположить, что в одном из вариантов есть опечатка и верхняя функция должна быть -x+1, то ни один из вариантов не подходит. Если же предположить, что верхняя функция в одном из вариантов является правильной, то нужно проверить, какая из них соответствует графику. Вариант $$\int_{-3}^{2} ((1+x) - (x^2 - 5))dx$$ предполагает верхнюю функцию y = 1+x. При x=-3, y = 1-3 = -2 (неверно). При x=2, y = 1+2 = 3 (неверно).

Вариант $$\int_{-3}^{2} ((-1-x) - (x^2 - 5))dx$$ предполагает верхнюю функцию y = -1-x. При x=-3, y = -1-(-3) = 2 (неверно). При x=2, y = -1-2 = -3 (неверно).

Вариант $$\int_{-3}^{2} ((1-x) - (x^2 - 5))dx$$ предполагает верхнюю функцию y = 1-x. При x=-3, y = 1-(-3) = 4 (верно). При x=2, y = 1-2 = -1 (верно). Таким образом, это правильный вариант.