Каково взаимное расположение двух окружностей, если: а) расстояние между центрами равно 10, а радиусы равны 8 и 2; б) расстояние между центрами равно 4, а радиусы равны 11 и 17; в) расстояние между центрами равно 12, а радиусы равны 5 и 3?

Решение:

Для определения взаимного расположения двух окружностей сравним расстояние между их центрами \( O_1O_2 \) с суммой \( R + r \) и разностью \( |R - r| \) их радиусов. Будем считать \( R \) — больший радиус, а \( r \) — меньший.

а) \( O_1O_2 = 10 \), \( R = 8 \), \( r = 2 \)

• Сумма радиусов: \( R + r = 8 + 2 = 10 \).
• Разность радиусов: \( |R - r| = |8 - 2| = 6 \).
• Сравниваем: \( O_1O_2 = R + r \) (10 = 10).

Вывод: окружности касаются внешне.

б) \( O_1O_2 = 4 \), \( R = 17 \), \( r = 11 \)

• Сумма радиусов: \( R + r = 17 + 11 = 28 \).
• Разность радиусов: \( |R - r| = |17 - 11| = 6 \).
• Сравниваем: \( O_1O_2 < |R - r| \) (4 < 6).

Вывод: одна окружность расположена внутри другой.

в) \( O_1O_2 = 12 \), \( R = 5 \), \( r = 3 \)

• Сумма радиусов: \( R + r = 5 + 3 = 8 \).
• Разность радиусов: \( |R - r| = |5 - 3| = 2 \).
• Сравниваем: \( O_1O_2 > R + r \) (12 > 8).

Вывод: окружности расположены вне друг друга.

Ответ: а) касаются внешне; б) одна внутри другой; в) расположены вне друг друга.