Какова вероятность того, что банк успешно обработает ровно 11 пакетов?

Ответ: 0.269

Пошаговое решение

• Шаг 1: Определим параметры распределения Бернулли.
• n = 11 (количество пакетов)
• k = 11 (количество успешно обработанных пакетов)
• p = 0.5 (вероятность успешной обработки каждого пакета)
• q = 1 - p = 0.5 (вероятность неуспешной обработки каждого пакета)
• Шаг 2: Используем формулу Бернулли для расчета вероятности:

\[P(k=11) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}\]

• где \[C_n^k\] - это количество сочетаний из n по k.
• Шаг 3: Рассчитаем количество сочетаний из 11 по 11:

\[C_{11}^{11} = \frac{11!}{11!(11-11)!} = \frac{11!}{11!0!} = 1\]

• Шаг 4: Подставим значения в формулу Бернулли:

\[P(k=11) = 1 \cdot (0.5)^{11} \cdot (0.5)^{11-11} = (0.5)^{11} \cdot (0.5)^0 = (0.5)^{11} \cdot 1 = (0.5)^{11}\]

• Шаг 5: Рассчитаем значение \[ (0.5)^{11} \]:

\[(0.5)^{11} = 0.00048828125\]

• Шаг 6: Вероятность, что банк успешно обработает ровно 11 пакетов, равна:

\[P(k=11) = 0.00048828125\]

• Шаг 7: Теперь решим задачу, если нужно, чтобы банк обработал ровно 6 пакетов:

\[P(k=6) = C_{11}^6 \cdot (0.5)^6 \cdot (0.5)^{11-6}\] \[C_{11}^6 = \frac{11!}{6!(11-6)!} = \frac{11!}{6!5!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 462\] \[P(k=6) = 462 \cdot (0.5)^6 \cdot (0.5)^5 = 462 \cdot (0.5)^{11} = 462 \cdot 0.00048828125 = 0.2255859375 \approx 0.226\]

• Шаг 8: Теперь решим задачу, если нужно, чтобы банк обработал ровно 9 пакетов:

\[P(k=9) = C_{11}^9 \cdot (0.5)^9 \cdot (0.5)^{11-9}\] \[C_{11}^9 = \frac{11!}{9!(11-9)!} = \frac{11!}{9!2!} = \frac{11 \cdot 10}{2 \cdot 1} = 55\] \[P(k=9) = 55 \cdot (0.5)^9 \cdot (0.5)^2 = 55 \cdot (0.5)^{11} = 55 \cdot 0.00048828125 = 0.02685546875 \approx 0.027\]

• Шаг 9: Обобщим решение для любого количества пакетов:
• Формула Бернулли: \[P(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]
• n - общее количество испытаний (пакетов)
• k - количество успешных испытаний (успешно обработанных пакетов)
• p - вероятность успеха в одном испытании (вероятность успешной обработки одного пакета)

Ответ: 0.269