18. Какое наименьшее число рёбер придется пройти дважды, чтобы обойти все рёбра куба?

У куба 12 ребер. Чтобы обойти все ребра куба, необходимо пройти по каждому ребру хотя бы один раз. В кубе 8 вершин, и в каждой вершине сходится 3 ребра. Это значит, что у нас есть 8 нечетных вершин. Чтобы иметь возможность пройти по всем ребрам, нужно, чтобы все вершины были четными (то есть, чтобы из каждой вершины выходило четное число ребер). Чтобы сделать все вершины четными, необходимо продублировать ребра, соединяющие нечетные вершины. Минимальное число ребер, которые нужно продублировать, равно количеству нечетных вершин, деленному на 2. В нашем случае это 8 / 2 = 4 ребра. Однако в данном случае нам надо найти *наименьшее* число рёбер, которое нужно пройти дважды, чтобы обойти *все* рёбра. Так как у нас 8 нечетных вершин, то есть вершин, из которых выходит нечетное количество ребер, нам нужно добавить как минимум 4 ребра, пройдя по ним дважды, чтобы все вершины стали четными. Поскольку количество ребер в кубе равно 12, а четыре из них мы должны пройти дважды, то общее количество ребер, по которым надо пройти, равно 12 + 4 = 16. Рассмотрим следующий путь: начинаем с некоторой вершины, проходим по всем ребрам, пока не вернемся в начальную вершину. Чтобы это было возможно, количество нечетных вершин должно быть четным. У куба 8 вершин, и в каждой вершине сходятся 3 ребра, что делает все 8 вершин нечетными. Чтобы обойти все ребра и вернуться в начальную точку, нужно продублировать некоторые ребра так, чтобы все вершины стали четными. Поскольку у нас 8 нечетных вершин, нам нужно добавить 4 ребра (повторно пройти по ним). Следовательно, 4 ребра нужно пройти дважды. Ответ: 4