Какие утверждения верны? Задача Коши у" + y = 0, y(0) = 0, у'(0) = 2 имеет решение у = cosx Задача Коши у" + y = 0, y(0) = 0, у'(0) = 2 имеет решение у = 2sinx Задача Коши у" - y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 2 имеет решение у = ех - e-x Задача Коши у" - y = 0, y(0) = 0, у'(0) = 2 имеет решение у = 2cosx (В ответе укажите два правильных варианта).

Для решения этой задачи нужно проверить каждое из утверждений, подставив предложенное решение в дифференциальное уравнение и проверив выполнение начальных условий.

1. Задача Коши у" + y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 2 имеет решение y = cosx

Проверим решение y = cosx:

• y' = -sinx
• y" = -cosx
• y" + y = -cosx + cosx = 0 (уравнение выполняется)
• y(0) = cos(0) = 1 ≠ 0 (начальное условие не выполняется)

Решение y = cosx не подходит.

2. Задача Коши у" + y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 2 имеет решение y = 2sinx

Проверим решение y = 2sinx:

• y' = 2cosx
• y" = -2sinx
• y" + y = -2sinx + 2sinx = 0 (уравнение выполняется)
• y(0) = 2sin(0) = 0 (начальное условие выполняется)
• y'(0) = 2cos(0) = 2 (начальное условие выполняется)

Решение y = 2sinx подходит.

3. Задача Коши у" - y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 2 имеет решение y = ех - e-x

Проверим решение y = ех - e-x:

• y' = ex + e-x
• y" = ex - e-x
• y" - y = (ex - e-x) - (ex - e-x) = 0 (уравнение выполняется)
• y(0) = e0 - e-0 = 1 - 1 = 0 (начальное условие выполняется)
• y'(0) = e0 + e-0 = 1 + 1 = 2 (начальное условие выполняется)

Решение y = ех - e-x подходит.

4. Задача Коши у" - y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 2 имеет решение у = 2cosx

Проверим решение y = 2cosx:

• y' = -2sinx
• y" = -2cosx
• y" - y = -2cosx - 2cosx = -4cosx ≠ 0 (уравнение не выполняется)

Решение y = 2cosx не подходит.

Таким образом, верные утверждения: y = 2sinx и y = ех - e-x.

Ответы:

• b) y = 2sinx
• c) y = ех - e-x

Ответ: b, c