75. Как изменится размах и межквартильный размах ряда чисел, если: а) ко всем членам ряда прибавить одно и то же число; б) все члены ряда умножить на одно и то же положительное число; в) все члены ряда умножить на одно и то же отрицательное число?

Рассмотрим, как изменятся размах и межквартильный размах ряда чисел в каждом из предложенных случаев.

1. а) ко всем членам ряда прибавить одно и то же число;

   Пусть дан ряд чисел $$x_1, x_2, ..., x_n$$. После прибавления числа $$a$$ к каждому члену ряда получим новый ряд $$x_1 + a, x_2 + a, ..., x_n + a$$.

   Размах ряда – это разность между максимальным и минимальным значениями. Если исходный размах был $$R = x_{max} - x_{min}$$, то новый размах будет:

   $$R' = (x_{max} + a) - (x_{min} + a) = x_{max} - x_{min} = R$$

   То есть, размах не изменится.

   Межквартильный размах – это разность между третьим ($$Q_3$$) и первым ($$Q_1$$) квартилями. Если исходный межквартильный размах был $$IQR = Q_3 - Q_1$$, то новый межквартильный размах будет:

   $$IQR' = (Q_3 + a) - (Q_1 + a) = Q_3 - Q_1 = IQR$$

   То есть, межквартильный размах также не изменится.

2. б) все члены ряда умножить на одно и то же положительное число;

   Пусть дан ряд чисел $$x_1, x_2, ..., x_n$$. После умножения каждого члена ряда на положительное число $$b$$ получим новый ряд $$bx_1, bx_2, ..., bx_n$$.

   Если исходный размах был $$R = x_{max} - x_{min}$$, то новый размах будет:

   $$R' = bx_{max} - bx_{min} = b(x_{max} - x_{min}) = bR$$

   То есть, размах увеличится в $$b$$ раз.

   Если исходный межквартильный размах был $$IQR = Q_3 - Q_1$$, то новый межквартильный размах будет:

   $$IQR' = bQ_3 - bQ_1 = b(Q_3 - Q_1) = bIQR$$

   То есть, межквартильный размах также увеличится в $$b$$ раз.

3. в) все члены ряда умножить на одно и то же отрицательное число?

   Пусть дан ряд чисел $$x_1, x_2, ..., x_n$$. После умножения каждого члена ряда на отрицательное число $$c$$ получим новый ряд $$cx_1, cx_2, ..., cx_n$$. При умножении на отрицательное число, порядок чисел в ряду меняется на противоположный.

   Если исходный размах был $$R = x_{max} - x_{min}$$, то новый размах будет:

   $$R' = cx_{min} - cx_{max} = c(x_{min} - x_{max}) = |c|(x_{max} - x_{min}) = |c|R$$

   То есть, размах увеличится в $$|c|$$ раз.

   Если исходный межквартильный размах был $$IQR = Q_3 - Q_1$$, то новый межквартильный размах будет:

   $$IQR' = cQ_1 - cQ_3 = c(Q_1 - Q_3) = |c|(Q_3 - Q_1) = |c|IQR$$

   То есть, межквартильный размах также увеличится в $$|c|$$ раз.

Ответ:

1. а) Размах и межквартильный размах не изменятся.
2. б) Размах и межквартильный размах увеличатся в $$b$$ раз.
3. в) Размах и межквартильный размах увеличатся в $$|c|$$ раз.